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  • LGV lemma [WIP] Lindström–Gessel–Viennot lemma는 DAG의 non-intersecting path를 셀 때 사용할 수 있는 공식이다.$G = (V, E)$에서 $2n$개의 정점 $a_{1}, \cdots, a_{n}$, $b_{1}, \cdots, b_{n}$을 생각하자. 어떤 두 path가 intersecting하다는 것은 둘 사이에 공통된 정점이 있다는 것이다. path tuple $P = (P_{1}, \cdots, P_{n})$에 대해 $P_{i}$가 $a_{i}$를 $b_{\sigma(i)}$로 보내고, $\sigma$가 순열이면 이러한 $P$를 path system이라고 하자. $P$가 non-intersecting이면 non-intersecting path system이라고 부르고, .. 공감수 1 댓글수 0 2025. 2. 4.
  • Cayley's theorem in Combinatorics 조합론에서의 Cayley's theorem은 완전그래프 \(K_{n}\)의 서로 다른 spanning tree가 \(n^{n-2}\)개라는 정리이다. 일반적으로는 그 쓰임보다도 아름다운 증명에 가치를 둔다. Functional graph를 알고 있다는 전제 하에 글을 작성했다. Reference : Miklos Bona - [A Walk through Combinatorics] cf : \([n] := \{1,\dots,n\}.\) Proof (By A. Joyal) \(K_{n}\)의 spanning tree의 개수를 \(t_{n}\)이라고 두고, \(n^{2}t_{n} = n^{n}\)임을 보인다. Definition. 정점 \(n \ge 1\)개의 트리 \(T\)에서 정점 \(a, b\)를 골라 \.. 공감수 2 댓글수 2 2019. 12. 11.
  • 스털링 수와 다항식 기저 변환 고등학생 때 확률과 통계에서, 빠르면 중학생 때 수학올림피아드에서 접하게 되는 Stirling number \(S(n,k)\)에는 항상 제 2종 이라는 수식어가 붙는다. 교과서에서 보이지도 않는 제 1종 스털링 수가 뭐기에 더 쓸모가 많은 \(S(n,k)\)를 "제 2종"이라고 이름붙인 걸까? Notations & Preliminaries - \([n]\)은 양의 정수 집합 \(\{1,2,\cdots,n\}\)을 의미한다. - Falling factorial \(\displaystyle (x)_{k} := x(x-1)\cdots(x-k+1) = k! \cdot \begin{pmatrix}x\\k\end{pmatrix}\). - 제 2종 스털링 수의 조합적 의미를 깊게 다루지는 않는다. - 서술을 엄밀하게.. 공감수 2 댓글수 0 2019. 9. 17.
  • Pentagonal Number Theorem Pentagonal Number Theorem은 분할수 \(p(n)\)을 \(\mathcal{O}(n^{1.5})\)에 구할 수 있게 해주는 멋진 점화식이다. BOJ 문제는 모르고, Project Euler 78번 으로 연습해볼 수 있다. koosaga님이 추천해주신 꿀이 뚝뚝 떨어지는 왕기초 연습문제도 Codeforces에 있다. 생성함수에 대한 기본적인 지식을 전제한다. 이탤릭체로 표기된 용어는 임의로 지어낸 용어로, 공식적인 용어와 다를 수 있다. 분할수와 그 생성함수 자연수 \(n \ge 0\)의 분할수 \(p(n)\)이란, 합이 \(n\)이 되는 단조 감소하는 자연수열(분할)의 개수를 말한다. 물론 빈 수열의 합은 0이기 때문에 \(p(0) = 1\)이다. 엌ㅋㅋㅋㅋㅋ 좀 더 정상적인 예시로, .. 공감수 6 댓글수 3 2019. 9. 16.
  • Ore's theorem & Palmer's algorithm Ore's theorem은 그래프에 해밀턴 회로가 존재할 조건과 관련된 정리이다. Statement를 바로 쓰면 다음과 같다. \(n \ge 3\)개의 정점으로 구성된 단순그래프 \(G\)에서, 모든 비인접(non-adjacent) 정점 \(x, y\)에 대해 \(\deg x + \deg y \ge n\)이 성립하면, \(G\)에는 해밀턴 회로가 존재한다. 여담으로 좀 더 강한 조건인 Dirac's theorem (모든 정점의 차수가 \(n/2\) 이상)도 있는데, 딱히 Ore's theorem 증명에 비해 쉬운지는 잘 모르겠다. 스포일러 방지선 Step 1. \(G\) is connected 두 정점 \(x\), \(y\)가 이미 인접(adjacent)한 경우에는 상관이 없다. \(x\)와 \(y\)가.. 공감수 0 댓글수 0 2019. 8. 17.
  • Bessel's Correction (Revised) 2019.03.27 Revised. 원본: 2017.09.10 표본분산 \(S^2\)는 \(\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n}(\bar{X}-X_k)^2\)로 정의된다. 그런데 분모의 꺼림칙한 \(n-1\)은 일반적으로 '자유도'(degree of freedom)라는 개념으로 설명하는데, 대략 "평균 \(\bar{X}\)는 이미 정해져 있으니까(?) 자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수는 \(n-1\)개 밖에 없어!" 같은 뉘앙스로 설명한다. 근데 이 설명이 도저히 납득이 가지 않는다. 사실 자유도를 이용한 설명은 다분히 작위적인 느낌이 든다. '자유도'라는 개념을 "자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수"와 같은 의미로 사용하는 경우를 본 적이 없다. 애초에 통계학적으로 의미가 있는지조차도.. 공감수 3 댓글수 1 2019. 3. 27.
  • Mirsky's theorem Mirsky's theorem은 POSET에 관련된 기초적인(?) 정리 중 하나인데, 어디 심층 문제에 대뜸 나왔다길래 포스팅해본다.이에 완전히 대응되는 정리로 Dilworth's theorem이 있지만 증명이 복잡해서 일단은 Mirsky만 증명하기로 한다. POSET(PreOrder SET)의 형식적인 정의는 다음과 같다. 직관적으로는 두 정수 간의 약배수 관계를 생각하면 된다. - 집합 \(P\)의 원소들에 대해서, 관계 \(\preccurlyeq\)가 다음을 만족한다.- 반사율 (reflexivity) : 임의의 \(a \in P\)에 대해 \(a \preccurlyeq a\).- 추이율 (transitivity) : \(a, b, c \in P\)에 대해 \(a \preccurlyeq b \ \w.. 공감수 0 댓글수 3 2018. 11. 4.
  • LYM inequality와 Sperner's theorem 방청소를 하다가 영재고 대비 시절의 교재를 발견했다. 그 교재 마지막 장에 과하게 졸려보이는 글씨로(...) 이 정리와 증명이 쓰여 있길래 대충 재구성해본다. 이걸 조사하면서 Sperner를 슈페르너로 읽는다는 걸 처음 알았다. 지금까지 스퍼너로 읽었는데 ㅁㄴㅇㄹ Definition. (Sperner Family) \([n] := \{1,2,\cdots n\}\)이라 할 때, \(\mathcal{F} \subset 2^{[n]}\)가 임의의 두 원소 \(A, B \in \mathcal{F}\)에 대해 \(A \subset B \Leftrightarrow A = B\)를 만족할 때 \(\mathcal{F}\)를 \([n]\)의 Sperner Family라고 한다. 즉 \(\subset\)을 순서관계로 생각.. 공감수 2 댓글수 0 2018. 7. 23.
  • High Girth & High Chromatic with Probabilistic method HGHC는 graph theory / combinatorics에서 오랫동안 제기되어 왔던 추측을 반증하는 lemma로, 확률론적 방법의 대표적인 예제이다. 확률론적 방법의 진수를 보여주는 lemma라고 생각하는데, 확률론적 방법 전체를 소개하기에는 너무 길고, 이 정리의 증명만 포스트에 싣기로 한다. 아마 wikipedia 수준의 사전 지식 이외에는 필요하지 않을 것이다. Thanks to. claim 0. Introduction 임의의 자연수 \(t, \ u\)에 대해 \(g(G) > t\)와 \(\chi (G) > u\)를 동시에 만족하는 그래프 \(G\)가 존재한다. 여기서 그래프의 girth \(g(G)\)는 \(G\)에서 가장 작은 cycle의 크기를 의미하고, \(\chi (G)\)의 경우 g.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 12. 23.
  • Beatty Sequence와 Rayleigh's theorem 시험기간인데 포스팅은 하고 싶어서 내뱉는 짧은 주제.이산수학이 맞는지는 모르겠지만... 이것과 연관된 이산수학 문제가 하나 있으니까 이 카테고리에 포스팅하기로 한다. 1. Definition of Beatty Sequence 양의 무리수 \(r\)에 대해서 Beatty Sequence \(\mathcal{B}_r\)을 다음과 같이 정의한다. $$ \mathcal{B}_r := \{ \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \cdots, \lfloor nr \rfloor \cdots \} $$ 2. Rayleigh's theorem 두 양수 무리수 \(r,s\)가 \(\frac{1}{r}+\frac{1}{s} = 1\)을 만족할 때, \(\mathcal{B}_r\)과 \(\ma.. 공감수 0 댓글수 0 2017. 12. 15.
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