\(n\times n\) matrix \(A \ = \ (a_{ij})\)에 대해 \(s_{i} := \sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|\)라 하자.
\(A\)의 eigenvalue \(\lambda\)는 다음을 만족함을 보여라.
화난다...
Key observation.
$$ \left\lVert v \right\rVert_{\infty} = \max \left( |v_{1}|, |v_{2}|, \ldots |v_{n}| \right) $$
도 norm이다.
\(\lambda\)는 eigenvalue니까, 대응되는 eigenvector를 \(v\)라고 하면
\(\left\lVert Av \right\rVert_{\infty} = \left\lVert \lambda v \right\rVert_{\infty}\)
\(\therefore \max_{i} ( |A_{i,*} \cdot v| )= |\lambda| \left\lVert v \right\rVert_{\infty}\) (\(A_{i,*}\)는 \(A\)의 \(i\)번째 row vector)
이때 좌변의 값은 \(\max_{i} \left( \left(\sum_{j} |a_{ij}| \cdot |v_{j}|\right) \right)\)보다 작거나 같다. (삼각부등식)
이 값은 다시 \(|v_{j^*}|\)가 최대인 \(j^*\)에 대해서 \(\max_{i} \left( |v_{j^*}| \cdot \sum_{j} |a_{ij}| \right)\)보다 작거나 같다.
그런데 \(|v_{j^*}|\)는 사실 \(\left\lVert v \right\rVert_{\infty}\)고, \(\sum_{j} |a_{ij}| = s_{i}\)다.
정리해서 쓰자면,
$$ |\lambda| \left\lVert v \right\rVert_{\infty} \le \max_{i} \left( s_{i} \left\lVert v \right\rVert_{\infty} \right) = \max_{i} \left(s_{i}\right) \cdot \left\lVert v \right\rVert_{\infty} $$
eigenvector는 nonzero이므로 \(\left\lVert v \right\rVert_{\infty} > 0\)이고, 결국
$$ |\lambda| \le \max_{i} \left (s_{i} \right)._{\blacksquare} $$