문제 링크 Community Something appears to not have loaded correctly. artofproblemsolving.com 문제. \(n = p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} \cdots p_{k}^{e_{k}}\)에 대해 \(\lambda(n)\)은 \((-1)^{e_1 + e_2 + \cdots e_k}\)로 정의된다. (Liouville's function) 다음을 증명하여라: (a) \(\lambda(n) = \lambda(n+1) = 1\)인 \(n\)이 무한히 많다. (b) \(\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1\)인 \(n\)이 무한히 많다. 아이디어가 상당히 기초적이면서도 재밌다. 풀이. ...더보기 (a) 편의를 위해, ..

문제 링크 2019-03 Simple spectrum - KAIST Math Problem of the Week Suppose that \( T \) is an \( N \times N \) matrix \[ T = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & a_2 & b_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & b_2 & a_3 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & … mathsci.kaist.ac.kr \(N \times N\) 실수 행렬 \(T\)가 다음과 같고, 모든 \(b_i > 0\)일 때 \(T\)는 서로 다른 \(N\)개의 eigenvalue를 가짐을 보여라. $$ T = \be..

문제 링크 2019-02 Simplification of an expression with factorials - KAIST Math Problem of the Week For any positive integers m and n, show that \[ C_{n,m} = \frac{(mn)!}{(m!)^n n!} \] is an integer. Recommend on Facebook Tweet about it Print for later Tell a friend Related mathsci.kaist.ac.kr POW라는 걸 믿을 수 없을 정도로 쉬운 문제가 나와버렸다. 스포방지 안할래... 문제. 모든 자연수 \(n,m\)에 대해, 다음이 정수임을 보여라. $$ C_{n,m} = \frac{(nm)!..

문제 링크 재활을 위해 IMO보다 부담 없이 건드려볼 수 있는 셋을 선택한다고 했는데... 아직 나한텐 너무 어렵다.문제 셋은 굉장히 좋다. 고인물 테크닉을 요구하지도 않고.나는 4번만 풀이를 봤고, 123은 혼자서 풀었다.스포방지선 1번 (대수) 그사건... \(x = ab^2, y = bc^2, z = ca^2\)으로 치환하면 \(n = 1\) Schur가 된다.어차피 부등식은 이제 나오지 않으니 던져버리자! 2번 (기하) 지오지브라의 힘을 빌렸다. 점을 몇 개 더 잡지만 저 그림을 지워버린 관계로 말로 때우자.잘 그린 그림으로부터, \(MI (\parallel AB)\), \(AC\), \(EF\)가 한 점에서 만난다는 것을 알 수 있다. Lemma) \(U = EF \cap AC\), \(V = ..

AoPS 링크 A1. 다음을 만족하는 최소의 집합 \(S\)에 속하지 않는 원소로는 어떤 것이 있겠는가?- \(2 \in S\).- \(n^2 \in S \implies n \in S\).- \(n \in S \implies (n+5)^2 \in S\). 답은 \(1, 5k\).나는 그냥 bound 줄여나가면서 풀었는데, 훨씬 깔끔한 풀이가 있어서 가져왔다. \(n \in S\)에 대해서 \(n + 5 \in S\)가 자명하다. 또 2가 원소면 49가 원소고, \(54^2 = 2916\)이 \(S\)의 원소다. 이는 \(5k+1\)꼴이고, 따라서 \(2916\) 이상의 \(5k+1\) 꼴은 모두 \(S\)에 포함된다.임의의 \(5 \not{|} x\)에 대해 \(x^{16} \equiv 1 \ (\mod..

문제. \(1 \cdots n\)의 순열 \(a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}\)과 \(b_{1}, b_{2}, \ldots b_{n}\)에 대해, 다음 행렬 \(A\)의 행렬식으로 가능한 값을 모두 구하여라. $$ A = (A_{ij}) = ((1+a_{i}b_{j})^{n-1}) $$ \(n = 2\)일 때는 행렬을 다음의 꼴로 나타낼 수 있다. $$ A = \begin{pmatrix} 1 & a_{1} \\ 1 & a_{2} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ b_{1} & b_{2} \end{pmatrix} $$ 따라서 적당한 \(k \in \{0,1\}\)에 대해 $$ \det (A) = (-1)^{k} \det \left[ \begin..