Vieta Jumping은 꽤 난도가 높아 보이는 수올 문제들에서 종종 보이는 테크닉이다. 아니 사실 나한테만 어렵지 현역 수올러들은 되게 잘 쓰는 것 같다. 주로 이변수 대칭 이차식의 정수해를 bound 시킬 때 쓰인다. 이렇게 말해봐야 이해하는 데 도움이 되지 않으니, 아래의 예시를 따라오면서 감을 잡는 것을 권장한다.Problem 1. (IMO '88 #6) 음 아닌 정수 \(a,b\)가 \(ab+1 | a^2+b^2\)를 만족할 때, \(k = \frac{a^2+b^2}{ab+1} \)은 완전제곱수임을 보여라. 우선 \(b = 0\)인 경우는 \(k = a^2\)이 되어 완전제곱수가 됨을 알 수 있다. fixed \(k\)에 대해 \(S := \{ (a,b) | a \ge b, \ \frac{a^..

게레첸 부등식, 게러첸 부등식이라고 더 많이 알려져 있는 것 같은(...) 이 부등식은 삼각형의 둘레의 절반 \(s = \frac{a+b+c}{2}\), 내접원의 반지름 \(r\), 외접원의 반지름 \(R\)에 관련된 가장 tight한 부등식 중 하나이다. 아마 경시 수준에서 쓰이는 기하부등식 중에선 가장 강한 것 같다. 소개할 증명에서도 상당히 강력한 부등식인 Schur 부등식이 사용된다. $$ 16Rr - 5r^2 \le s^2 \le 4R^2 + 4Rr + 3r^2 $$ (1) Lower bound 클래식한 방법은 부담이 너무 심해서 Lemma를 하나 도입해보았다. \( x := s-a, y := s-b, z := s-c\) \(\text{Lemma : } xy+yz+zx = 4Rr+r^2\) \(..

$$ \text{Find all continuous function } f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ s.t. } \\ \forall x \in \mathbb{R} \ \ f(f(x)) = cos x $$ 페이스북에서 본 흥미로운 문제인데, 굉장히 기교를 많이 필요로 할 것 같지만 의외로 풀이가 원론적이었다. 당연히 내가 풀진 못했고... 조건을 만족하는 \(f\)가 존재한다고 가정하면,우변인 \(\text{cos}x\) 는 단 하나의 고정점(fixed point)을 갖기 때문에, (\(\text{cos} t = t\)를 만족하는 점, \(t \approx 0.7391 \) )이는 \(f\)의 유일한 고정점이어야 한다. 간단히 설명하자면 \(t\) 이외의 고정점..