\(\pi\)가 무리수임을 증명하는 과정이다. 주요 관찰들은 유용해 보이긴 한데 풀이 전체가 너무 비직관적이라... 완전히 마음에 들지는 않는다. 더 나은 풀이나 이 풀이에 대한 다른 해석이 있다면 제보 바랍니다. 실제로는 \(\pi^2\)이 무리수임만 보여도 충분하다. 증명은 \(\pi^2 = a/b\)라고 놓은 뒤에 \(a\)가 어떤 자연수도 될 수 없음을 보이는 방향으로 설계한다. Proposition 1. 정수 계수 다항식 \(f(x)\)를 생각하자. 임의의 자연수 \(n\)과 정수 \(k\)에 대해서 \(f^{(n)}(k)\)는 \(n!\)의 배수이다. 증명 생략. 이 때 \(f(x) = \frac{x^n(1-x)^n}{n!}\)을 생각하자. 여기서 \(f(x)\)의 특징을 몇 가지 뽑아낼 수 ..

Gamma Function은 여러 가지 정의가 있는데, 그 중 몇 가지 정의들은 서로 동치임이 자명하지만은 않다.여기서는 가장 대표적인 동시에 가장 대립되는 두 가지 정의를 다룬다.

*이 글은 산술-기하 평균부등식과 관련된 글이 아닙니다. 양의 실수 \(x>y\)의 AGM \(AGM(x,y)\)는 다음 두 수열의 극한값으로 정의된다.\(a_0 = x, \ g_0 = y\)\(a_{n+1} = \frac{a_n+g_n}{2}, g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}\)\(\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to\infty}g_n = AGM(x,y)\) 1. Proof Of Existence \(\{g_n\}\)이 수렴함은 단조수렴정리에 의해 자명하다. \(g_n\)의 극한값을 \(g\)라고 두자. 그렇다면 \(a_n = \frac{g_{n+1}^2}{g_n}\)이므로 극한값은 역시 동일한 \(g\)가 된다. \(\blacksquare\) 2. Closed Form..