Uncertainty Principle

최근에 양자화학을 공부할 일이 생겼는데 무려 불확정성 원리가 연습문제로 나왔다. 관련 개념을 정리해 둘 필요가 있겠다 싶어 적어둔다. 수학적으로 엄밀한 내용 이외에는 전부 나의 주관이므로 받아들이지 않는 것을 권장한다.

Expectation value와 Uncertainty

양자역학에서 observable $A$를 '측정'한다는 것은, 실제로는 현재 상태 $\left|\psi\right>$에 $A$를 작용시켰을 때 그 고유값(eigenvalue)을 보게 되는 것이다.

일반적으로, 임의의 상태 $\left|\psi\right>$에서 $A$를 관측한 기댓값(expectational value) $\left<A\right>_{\psi}$는 $\left<A\right>_{\psi} := \left<\psi|A|\psi\right>$로 정의된다.

이 정의를 납득해 보자.

$\left|\psi\right>$가 $A$의 eigenket인 경우에는 $A\left|\psi\right> = a_{\psi}\left|\psi\right>$가 성립하기 때문에 관측치는 무조건 $a_{\psi}$로 결정되어 버린다. 이 경우 $\left<A \right>_{\psi}$는 자명히 $a_{\psi}$가 된다.

하지만 일반적으로 $\left|\psi\right>$가 $A$의 eigenket이 아닌 경우, $A$의 eigenket $\{\phi_{i}\}$에 대해 $\displaystyle \left|\psi\right> = \sum_{i} \left<\phi_{i} | \psi \right>\left| \phi_{i} \right>$와 같이 표현되고, $\left<\psi|A|\psi\right>$는 $\displaystyle \left<A\right> = a_{i} \left|\left<\phi_{i}|\psi\right>\right|^{2}$으로 계산된다. 확률 분포 해석을 도입하면, 결국 $\left< A \right>$는 각각의 고유값 $a_{i}$가 $\left|\left<\phi_{i}|\psi\right>\right|^{2}$의 확률로 관측될 때의 기댓값이 된다. 음... 끄덕거릴 만 하다.

확률분포가 있고, 기댓값을 만들었으니 분산도 만드는 것이 자연스럽다.

$$\sigma_{A}^{2} = \left< (A - \left<A\right>)^{2} \right>$$

로 정의할 수 있으며, 우리가 '불확정성'이라고 부르는 개념이 바로 이것이다.

Commutativity

두 연산자 $A, B$가 commute한 경우; $[A,B] := AB - BA = 0$이 되는 경우 중요한 성질이 생기는데,  $A,B$는 common eigenspace를 가진다는 것이다. 즉 $A\left|\psi\right> = a\left|\psi\right>$, $B\left|\psi\right> = b\left|\psi\right>$인 $\psi$가 존재한다.

역도 성립하기 때문에, $A,B$가 commute하지 않는 경우에는 common eigenvector가 존재하지 않는다.

$A,B$가 commute한다고 해서 반드시 $\sigma_{A} = \sigma_{B} = 0$이 되는 것은 아니다. 하지만 $\left|\psi\right>$를 '마침' common eigenvector 중 하나로 잡아준다면 $\sigma_{A} = \sigma_{B} = 0$이 되고, 당연히 $\sigma_{A}\sigma_{B} = 0$이다.

하지만 $A,B$가 commute하지 않는다면? $\sigma_{A} = 0$이 되려면 $\left|\psi\right>$가 $A$의 eigenstate여야 하는데, 이때 $\left|\psi\right>$는 절대 $B$의 eigenket이 아니므로 $\sigma_{B} \neq 0$이다. 아하!

이러한 ansatz를 수학적으로 엄밀하게 부등식으로 표현한 것이 불확정성 원리, 즉 Uncertainty principle이다.

Derivation of Uncertainty principle

원론적인 설명은 위에서 끝났다. 이제부터는 깡수학이다.

현재 상태를 $\left|\psi\right>$라고 하고, 두 Hermitian operator $A,B$가 commute하지 않는다고 하자.

Lemma 1. (Cauchy - Schwarz) 

임의의 well - behaved function $f,g$에 대해,

$$\left<f | f \right> \left<g | g \right> \ge \left| \left<f | g\right> \right|^{2}$$

$\left|f\right> := (A-\left<A\right>)\left|\psi\right>$, $\left|g\right> := (B-\left<B\right>)\left|\psi\right>$로 정의하자.

$A-\left<A\right>,B-\left<B\right>$도 자명히 hermitian이므로 $\left<f | f \right> = \sigma_{A}^{2}$, $\left<g | g \right> = \sigma_{B}^{2}$이 된다. 이제 우변을 열심히 조지면 된다.

Lemma 2.

복소수 $z$에 대해,

$$z^{*}z = |z|^{2} \ge \text{Im}(z)^{2} = -\frac{1}{4}(z-z^{*})^{2}$$

그래서 우변을 $\displaystyle\left| \left<f | g\right> \right|^{2} \ge -\frac{1}{4}\left( \left<f | g\right> - \left<g | f\right>\right)^{2}$로 끌어내릴 수 있다. 여기서 계산을 때리자.

$\displaystyle \left<f | g\right> = \left<\psi|AB-B\left<A\right>-A\left<B\right>+\left<A\right>\left<B\right>|\psi\right> = \left<AB\right> - \left<A\right>\left<B\right> ( = Cov(A,B))$

$\displaystyle \left<g | f\right> = Cov(B,a) = \left<BA\right> - \left<A\right>\left<B\right>$ 

*$\left<A\right>$는 그냥 실수니까 당연히 commute이다.

**$AB, BA, [A,B]$는 hermitian이 아니기 때문에, 엄밀히 말해 $\left<AB\right>$라는 표현은 사용하면 안된다. 수식적으로만 받아들이자.

$\displaystyle \therefore -\frac{1}{4}\left( \left<f | g\right> - \left<g | f\right>\right)^{2} = -\frac{1}{4}\left<AB-BA\right>^{2} = -\frac{1}{4}\left<[A,B]\right>^{2}$

Lemma 3.

$A,B$가 Hermitian일 때, $[A,B]$는 anti - Hermitian이다. 즉, $[A,B] + [A,B]^{\dagger} = 0$이다.

pf) $(AB-BA)^{\dagger} = (AB)^{\dagger} - (BA)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger} - A^{\dagger}B^{\dagger} = BA - AB = -(AB-BA)_{\blacksquare}$

Lemma 3에 의해 $\left<[A,B]\right>^{*} = -\left<[A,B]\right>$이 되고, 따라서 $\displaystyle -\left<[A,B]\right>^{2} = \left|\left<\psi | [A,B] | \psi \right>\right|^{2}$가 된다.

이 결과를 최종 부등식에 적으면, 우리가 원하는 불확정성 원리가 유도된다.

$$\sigma_{A}^{2}\sigma_{B}^{2} \ge \frac{1}{4} \left| \left<\psi|[A,B]|\psi\right> \right|^{2}$$

$A = x, B = p$에서 $[x,p] = i\hbar$를 대입하면 $\sigma_{x}\sigma_{p} \ge \frac{\hbar}{2}$가 나온다.