BOJ 14859 세 쌍 서로수

2019. 8. 17. 04:23알고리즘 문풀/BOJ 연습

문제 링크

 

14859번: 세 쌍 서로소

크기가 n인 수열 a1, a2, ..., an이 주어졌을 때, 1 ≤ i < j < k ≤ n 이면서, GCD(ai, aj, ak) = 1인 세 쌍 (i, j, k)의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 여기서 GCD는 최대공약수를 의미한다.

www.acmicpc.net

\(\text{MAX} = 10^6\) 범위의 수가 \(n\) 개 주어져 있고, 이 중에서 \(\gcd\)가 1인 triplet의 개수를 구하는 문제이다.


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이 문제는 포함-배제 원리를 이용해서 해결할 수 있다. \(\gcd\)가 \(g\)인 triplet의 개수를 \(A(g)\), \(\gcd\)가 \(g\)의 배수인 triplet의 개수를 \(B(g)\)라고 하면 다음의 관계식이 성립한다. \(p,q,r...\)은 전부 prime이다.

 

$$ A(g) = B(g) - \sum_{p} B(pg) + \sum_{p < q} B(pqg) - \sum_{p < q < r} B(pqrg) + \cdots = \sum_{k=1}^{\text{MAX}/g} \mu(k) B(kg) $$

 

이 문제에서 원하는 건 \(A(1)\)이므로 사실상 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{MAX} \mu(k) B(k)\)를 구하면 된다.

\(\mu\)는 Mobius function으로, 약-배수 관계를 이용한 포함 배제 원리를 적용할 때 유용하다.

 

\(B(g)\)는 naive하게 모든 \(g\)의 배수의 count값을 다 더한 후 \(\displaystyle \begin{pmatrix} \cdot \\ 3 \end{pmatrix}\)에 넣어주면 된다. 모든 \(g\)에 대해서 이 과정을 수행한다고 해도 연산 횟수는 \(\mathcal{O}(MAX + \frac{MAX}{2} +\frac{MAX}{3} + \cdots = MAX \ln MAX)\)다.

 

Mobius function은 에라토스테네스의 체를 돌리면서 구하는 방법도 있지만 사실 하나의 routine으로도 충분하다.

\(n > 1\)에 대해 \(\displaystyle \sum_{d | n} \mu(d) = 0\)이기 때문에, \(\displaystyle \mu(n) = \sum_{d | n} -\mu(d)\)가 성립한다. 그래서 \(\mu[1] = 1\)로 초기화해놓고, 반복문을 하나 돌리면서 모든 \(i\)의 배수에 \(j\)에 대해 \(\mu[j] \leftarrow \mu[j] - \mu[i]\)같은 루틴을 실행하면 역시 \(O(MAX \ln MAX)\)이다.

 

두 카운트 배열을 for문 하나로 묶을 수 있기 때문에 코드가 굉장히 짧다.

 

 

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