언쇼 정리 (Earnshaw's theorem)

그리피스 전자기학을 읽다 보면 언쇼 정리(Earnshaw's theorem)이라는 걸 볼 수 있는데, statement는 다음과 같다.

점전하들로만 이루어진 계에는 안정 평형점이 존재하지 않는다.

증명은 가우스 법칙을 이용해서 간단하게 할 수 있다.

안정 평형점 \(\vec{x}\)가 존재한다고 해 보자. 그렇다면 \(\vec{x}\)는 다음의 두 성질을 만족시켜야 한다:

(1) \(E(\vec{x}) = 0\)

(2) 충분히 작은 \(\delta x\)에 대해, \(E(\vec{x}+\delta x)\)는 \(x\)를 향한다.

그렇다면 아주 작은 구면, (2)에서 언급된 \(\delta x\)만큼의 크기를 갖는 구면 \(\mathcal{S}\)를 가우스면으로 설정해 보자.

구면 \(\mathcal{S}\) 위의 점에서 전기장은 항상 \(\vec{x}\)를 향하고 있으므로, 면적 벡터와 전기장 벡터를 내적한 값 \(\vec{E}\cdot d\vec{A} < 0\)이다. 따라서 이 가우스면을 따라 \(\vec{E}\cdot d\vec{A}\)를 적분하면 이 값은 0보다 작다. 수식으로는

$$ \int_{\mathcal{S}} \vec{E} \cdot d\vec{A} < 0 $$

이 때 가우스 법칙에 따라

$$ \int_{\mathcal{S}} \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0} = 0 $$

이므로 모순이다. 따라서 점전하만으로는 어떤 입자를 구속시킬 수 없다.