AOPS 직접 풀이 #003

문제 링크

원래 1년 전 (2017.12 초)에 정수론 들을 때쯤 푼 문제인데, 포스팅 도중 계산이 틀려서 보류되었다. 얼추 기워서 올리긴 하지만 여전히 틀린 부분이 있을 수 있다.

\(3k+1\) 꼴의 소수 \(p\)에 대해서 함수 \(L(m)\)을 다음과 같이 정의한다:

$$ L(m) \ = \ \sum_{x = 0}^{p-1} (\frac{x(x^3 + m)}{p}) $$

다음의 문제에 답하여라.

(a) \(\forall t (\neq 0), \ m , \ L(m) = L(mt^3)\)

(b) \(\mathbb{Z}_{p}^{*}\)를 다음의 조건을 만족하는 크기가 \(\frac{p-1}{3}\)인 집합 \(A,B,C\)로 분할할 수 있다:

$$L(m) = \begin{cases} a & (m \in A) \\ b & (m \in B) \\ c & (m \in C) \end{cases} $$

(c) \(a+b+c = -3\)

(d) \(a^2 + b^2 + c^2 = 6p+3\)

(e) \(X = \frac{2a+b+3}{3}, Y = \frac{b-a}{3}\)일 때, \(p = X^2+XY+Y^2\)

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Thanks to : H. Jung

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(a)

\(L(mt^3) = \sum_{x=0}^{p-1} (\frac{x(x^3 + mt^3)}{p})\)

\(x = ty\)로 두면

\(L(mt^3) = (\frac{t^4}{p}) \sum_{y=0}^{p-1}(\frac{y(y^3+m)}{p}) = L(m) \blacksquare\)

(b)

\(p\)의 원시근(primitive root) \(g\)를 잡으면

\(L(g^{3k+r}) = L(g^r) \ (0 \le r \le 2)\)이므로 \(a = L(1),b = L(g), c = L(g^2)\)로 잡아주면 된다. \(\blacksquare\)

(c)

\(\sum_{m=1}^{p-1} L(m) = \frac{p-1}{3}(a+b+c)\)이다.

시그마가 많아지니까 inline math로 쓰자.

$$ \sum_{m=1}^{p-1} L(m) \\ = \sum_{m=0}^{p-1} \sum_{x=0}^{p-1} (\frac{x(x^3+m)}{p}) \\ = \sum_{x=0}^{p-1} \sum_{m=1}^{p-1} (\frac{x^4 + mx}{p})$$

\(x^4 + mx\)는 \(m\)에 대해 \(\text{mod }p\)로 distinct하므로,

$$\sum_{m=1}^{p-1} (\frac{x^4+mx}{p}) = 0 - (\frac{x^4}{p}) = -1 \\ \therefore \frac{p-1}{3}(a+b+c) = -(p-1) \Rightarrow a+b+c = -3 \blacksquare$$

(d)

\(\sum_{m=1}^{p-1} L(m)^2  = \frac{p-1}{3} ( a^2 + b^2 + c^2)\)이다.

$$ \sum_{m=1}^{p-1} L(m)^2 \\= \sum_{m=1}^{p-1} \sum_{x=0}^{p-1} \sum_{y=0}^{p-1} (\frac{x^4 + mx}{p})(\frac{y^4+my}{p}) \\= \sum_{m=1}^{p-1} \sum_{x=0}^{p-1} \sum_{y=0}^{p-1} (\frac{xy}{p}) (\frac{m^2-(x^3+y^3)m+x^3y^3}{p}) \\= \sum_{x=1}^{p-1} \sum_{y=1}^{p-1} (\frac{xy}{p}) \sum_{m=1}^{p-1} (\frac{m^2 - (x^3+y^3)m + x^3y^3}{p}) $$

$$ d = (x^3+y^3)^2 - 4x^3y^3 = (x^3-y^3)^2 = 0 \Leftrightarrow x=y \\ \Rightarrow \frac{p-1}{3}(a^2+b^2+c^2) \\= \color{red}{ \sum_{x \neq y, xy\neq 0} -(\frac{xy}{p}) + 1} + \color{blue}{\sum_{x=y} (\frac{x^2}{p})(p-1)} \\= \color{red}{(p-1)(p)} + \color{blue}{(p-1)(p-1)}=(p-1)(2p-1)$$

$$\implies a^2 + b^2 + c^2 = 6p + 3._{\blacksquare}$$

(e)

\(c = -(a+b+3)\)을 넣고 계산하면 된다.

따라서 우리는 \(3k+1\)꼴의 소수 \(p\)를 \(X^2 + XY + Y^2\)꼴로 나타낼 수 있음을 보인 것이다.