Putnam 2017 풀이 - 풀리는 것만

2018. 11. 30. 10:12수학 문풀/기타

AoPS 링크


A1. 


다음을 만족하는 최소의 집합 \(S\)에 속하지 않는 원소로는 어떤 것이 있겠는가?

- \(2 \in S\).

- \(n^2 \in S \implies n \in S\).

- \(n \in S \implies (n+5)^2 \in S\).



A2.

다음의 점화식을 만족하는 함수열 \(Q_{n}\)이 모두 정수계수 다항식임을 보여라.

- \(Q_{0}(x) = 1, Q_{1}(x) = x\)

- \(Q_{n}(x) Q_{n-2}(x) = \{ Q_{n-1} (x) \}^{2} - 1\)



A3.


함숫값이 양수인 연속함수 \(f,g\)를 생각하자. \(\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} g \)이지만 \(f \not\equiv g\)이다. 이 때 다음의 수열 \(\{I_{n}\}\)을 생각하자.


$$ I_{n} := \int_{a}^{b} \frac{f^{n+1}}{g^{n}} dx $$


\(I_{n}\)이 증가수열이고, \(\lim_{n\to\infty}I_{n} = \infty\)임을 보여라.



A5.


NacChal에 나왔다.




B3.


0 또는 1의 값을 갖는 수열 \(c_{i}\)에 대해, \(f(x) = \sum_{i=0}^{\infty} c_{i}x^{i}\)를 정의하자.

\(f(\frac{2}{3}) = \frac{3}{2}\)일 때, \(f(\frac{1}{2})\)는 무리수임을 보여라.



'수학 문풀 > 기타' 카테고리의 다른 글

KAIST POW 2019-02 Simplification of an expression with factorials  (0) 2019.03.29
Balkan MO 2015  (0) 2019.02.09
Putnam 2017 풀이 - 풀리는 것만  (0) 2018.11.30
2018 대수경 2분야 5번 풀이  (0) 2018.11.24
2017 Benelux MO 풀이  (0) 2018.09.29
IMO Shortlist 2000  (0) 2017.12.31
1 2 3 4 5 6 7 8 9