#001. ArithMetic - Geometric Mean (AGM) (1)

*이 글은 산술-기하 평균부등식과 관련된 글이 아닙니다.

양의 실수 \(x>y\)의 AGM \(AGM(x,y)\)는 다음 두 수열의 극한값으로 정의된다.

\(a_0 = x, \ g_0 = y\)

\(a_{n+1} = \frac{a_n+g_n}{2}, g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}\)

\(\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to\infty}g_n = AGM(x,y)\)

1. Proof Of Existence

\(\{g_n\}\)이 수렴함은 단조수렴정리에 의해 자명하다. \(g_n\)의 극한값을 \(g\)라고 두자. 

그렇다면 \(a_n = \frac{g_{n+1}^2}{g_n}\)이므로 극한값은 역시 동일한 \(g\)가 된다. \(\blacksquare\)

2. Closed Form

가우스의 증명 일단 이런 엄청난 함수를 잡자.

\(I(x,y) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\theta}{\sqrt{x^2cos^2\theta+y^2sin^2\theta}}\)

그리고 또 이런 엄청난 변수변환을 하자. 가우스 당신은 도대체...

\(sin \theta = \frac{2xsin\phi}{(x+y)+(x-y)sin^2\phi}\)

그러면 신기하게도 적분식이 이렇게 바뀐다.

\(I(x,y) = \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{[\frac{1}{2}(x+y)^2]^2cos^2\phi + [\sqrt{xy}]^2sin^2\phi}} = I(\frac{x+y}{2},\sqrt{xy})\)

그래서 \(I(a_0,g_0) = I(a_1,g_1) = \cdots = I(AGM,AGM)\)으로 수렴하게 되고, \(z = AGM(x,y)\)라고 두면 \(I(z,z) = \int_{0}^{\pi/2}\frac{d\phi}{z} = \frac{\pi}{2z}\)가 되고, \(AGM(x,y) = \frac{\pi}{2I(x,y)}\)로 표현된다. \(\blacksquare\)

이를 활용한 여러 가지 근사법은 다음 포스팅에서.