Irrationality of pi

2018. 9. 2. 04:12수학 이론/미적분학

\(\pi\)가 무리수임을 증명하는 과정이다. 주요 관찰들은 유용해 보이긴 한데 풀이 전체가 너무 비직관적이라... 완전히 마음에 들지는 않는다. 더 나은 풀이나 이 풀이에 대한 다른 해석이 있다면 제보 바랍니다.


실제로는 \(\pi^2\)이 무리수임만 보여도 충분하다. 

증명은 \(\pi^2 = a/b\)라고 놓은 뒤에 \(a\)가 어떤 자연수도 될 수 없음을 보이는 방향으로 설계한다.


Proposition 1. 

정수 계수 다항식 \(f(x)\)를 생각하자. 임의의 자연수 \(n\)과 정수 \(k\)에 대해서 \(f^{(n)}(k)\)는 \(n!\)의 배수이다.


증명 생략.


이 때 \(f(x) = \frac{x^n(1-x)^n}{n!}\)을 생각하자. 여기서 \(f(x)\)의 특징을 몇 가지 뽑아낼 수 있다.


(ㄱ) \(x \in (0,1)\)에 대해 \(0 < f(x) < \frac{1}{n!}\)이다.


(ㄴ) Prp 1에 의해 임의의 \(j \ge 0\)에 대해 \(f^{(j)}(0), f^{(j)}(1) \in \mathbb{Z}\)이다.

\(\pi^2 = a/b\)라고 가정하자. 그리고 갑자기 이런 함수를 잡는다.


$$ F(x) := b^n \left( \pi^{2n} f(x) - \pi^{2n-2} f^{(2)}(x) + \cdots + (-1)^{n}f^{(2n)}(x) \right) $$


이게 어디서 나오는 발상인지 아무리 생각해도 모르겠다.


우선 (ㄴ)에 의해 \(F(0), F(1) \in \mathbb{Z}\)가 성립한다.

그리고, \(F\)의 정의상 다음의 식이 성립한다.


$$ F^{(2)}(x) + \pi^{2}F(x) = b^{n}\pi^{2n+2}f(x) = a^{n}\pi^{2}f(x) $$


그런데, 짜잔! 다음이 성립한다.


$$ \left[ F'(x) \sin (\pi x) - \pi F(x) \cos (\pi x) \right]' = \left( F^{(2)}(x) + \pi^2 F(x) \right) \sin (\pi x) = a^{n} \pi^{2} f(x) \sin (\pi x) $$


위 식을 0에서 1까지 적분한 값이 또 놀랍게도 \(F(0) + F(1) \in \mathbb{Z}\)가 된다.


$$ \int_{0}^{1} a^{n} \pi f(x) \sin (\pi x) = \frac{1}{\pi}\left[ F'(x) \sin (\pi x) - \pi F(x) \cos (\pi x) \right]_{0}^{1} = F(0) + F(1) \in \mathbb{Z} $$


우변이 정수인 반면 (ㄱ)에 의해 좌변은 \(0\)보다 크고 \(\frac{\pi a^{n}}{n!}\)보다 작게 된다. \(n\)이 충분히 클 때 이 값을 1보다 작게 만들 수 있으므로 모순. \(\pi^2\)은 무리수가 된다. \(\blacksquare\)

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