고정점으로 함방 풀기 - 예시

$$ \text{Find all continuous function } f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ s.t. } \\ \forall x \in \mathbb{R} \ \ f(f(x)) = cos x $$

페이스북에서 본 흥미로운 문제인데, 굉장히 기교를 많이 필요로 할 것 같지만 의외로 풀이가 원론적이었다. 당연히 내가 풀진 못했고...

조건을 만족하는 \(f\)가 존재한다고 가정하면,

우변인 \(\text{cos}x\) 는 단 하나의 고정점(fixed point)을 갖기 때문에, (\(\text{cos} t = t\)를 만족하는 점, \(t \approx 0.7391 \) )

이는 \(f\)의 유일한 고정점이어야 한다.

간단히 설명하자면 \(t\) 이외의 고정점이 존재하지 않는다는 것은 매우 자명하다.

이 때 \(f(t) = v\)라 두면, \( f(f(v)) = v\)이므로 \(v = t\)여야 하므로 \(t\)가 고정점임을 보일 수 있다.

이 때 \(t\)는 \(f\)의 '유일한' 고정점이므로, \(y = f(x)\)는 \(t\) 근방의 적당한 구간 \(I\)에서 단사함수(injective)여야 한다.

또 \(f\)는 연속이므로 \(I\)에서 \(f\)는 단조함수(monotone)여야 함을 사이값 정리로 간단히 보일 수 있다.

그렇다면 \(f \circ f\)는 \(f\)가 단조 증가/감소이건 상관없이 단조 증가함수여야 하는데, \(\text{cos}x\)는 그렇지 않으므로 조건을 만족하는 \(f(x)\)는 존재하지 않는다.

연속성 조건을 포기할 경우 많은("terribly many") 해를 찾을 수 있다고 하는데, 난 수잘알이 아니므로 패스하자. 언젠가 해석학 같은 걸 배우면 추가할지도?