게러슨 부등식 (Gerretsen's inequality)

게레첸 부등식, 게러첸 부등식이라고 더 많이 알려져 있는 것 같은(...) 이 부등식은 삼각형의 둘레의 절반 \(s = \frac{a+b+c}{2}\), 내접원의 반지름 \(r\), 외접원의 반지름 \(R\)에 관련된 가장 tight한 부등식 중 하나이다. 

아마 경시 수준에서 쓰이는 기하부등식 중에선 가장 강한 것 같다. 소개할 증명에서도 상당히 강력한 부등식인 Schur 부등식이 사용된다.

$$ 16Rr - 5r^2 \le s^2 \le 4R^2 + 4Rr + 3r^2 $$

(1) Lower bound

클래식한 방법은 부담이 너무 심해서 Lemma를 하나 도입해보았다.

\( x := s-a, y := s-b, z := s-c\)

\(\text{Lemma : } xy+yz+zx = 4Rr+r^2\)

\( \text{pf) by Heron} \\ r^2 s = (s-a)(s-b)(s-c) \\ = s^3 - (a+b+c)s^2 + (ab+bc+ca)s - abc \) 

\( = -s^3 + (ab+bc+ca)s - 4Rrs \\ \therefore ab+bc+ca = s^2 + 4Rr + r^2 \)

\( (s-x)(s-y)+(s-y)(s-z)+(s-z)(s-x) = 3s^2 - 2(x+y+z)s + xy+yz+zx \\ = s^2 + xy+yz+zx = s^2 + 4Rr + r^2 \\ \therefore xy + yz + zx = 4Rr + r^2 \blacksquare \)

\( \text{by Lemma} \\ s^2-(16Rr-5r^2) \\ = (x+y+z)^2 - 4(xy+yz+zx) + \frac{9xyz}{x+y+z} \)

\( = \frac{(x+y+z)^3 - 4(x+y+z)(xy+yz+zx) + 9xyz}{x+y+z} \)

\(x+y+z\)를 곱하고, 식을 정리하면

\( \sum_{sym}x^3 -  \sum_{sym}x^2y +3xyz \)

이는 \(n=1\)인 경우의 Schur 부등식에 의해서 0 이상이므로 성립. \(\blacksquare\)

(2) Upper bound

위에서는 계산량을 줄일 수 있었는데, 못하겠다 이번 건...

\(\text{claim : } F = 4r^2s^2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2) \ge 0 \)

\( F = (abc)^2 + 4abcr^2s + 12r^4s^2 - 4r^2s^4 \)

\( = (x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2 + 4(x+y)(y+z)(z+x)xyz + 12x^2y^2z^2 - 4xyz(x+y+z)^3 \)

제대로 계산해볼 시간이 없어서 해 보진 않았지만, 저 식을 정리하면

\( u = xy, v=yz, w=zx\)라고 뒀을 때 \( u, v, w\) 에 관한 \(n=1\) 슈르부등식이 나오기 때문에 성립한다고 한다. \(\blacksquare\)