시험기간인데 포스팅은 하고 싶어서 내뱉는 짧은 주제.
이산수학이 맞는지는 모르겠지만... 이것과 연관된 이산수학 문제가 하나 있으니까 이 카테고리에 포스팅하기로 한다.
1. Definition of Beatty Sequence
양의 무리수 r에 대해서 Beatty Sequence Br을 다음과 같이 정의한다.
Br:={⌊r⌋,⌊2r⌋,⋯,⌊nr⌋⋯}
2. Rayleigh's theorem
두 양수 무리수 r,s가 r1+s1=1을 만족할 때, Br과 Bs는 자연수 집합을 분할한다.
귀류법을 이용하여 증명한다.
case I : Br∩Bs=∅
즉, j=⌊kr ⌋=⌊ms⌋인 k,m∈Z이 존재하는 경우이다.
j≤kr<j+1⇒rj≤k<rj+1
j≤ms<j+1⇒sj≤m<sj+1
양변을 더하면 j(r1+s1)=j≤k+m≤(j+1)⋅(r1+s1)=j+1 이므로,
j<k+m≤j+1이 되어 k+m이 정수라는 가정에 모순.
case II : Br∪Bs=N
이는 두 Beatty Sequence 중 어느 것에도 속하지 않는,
즉 \( \ kr < j \ \vee \ j+1 < (k+1)r, ms < j \vee j+1< (m+1)s \rfloor\)인 j가 존재하는 경우이다.
원래는 (k+1)r≥j+1로 써야 하지만, r이 무리수이므로 등호를 제거할 수 있다. (s도 마찬가지)
case I와 마찬가지로 식을 정리하면
k<j/r ∨ m<j/s⇒k+m<j(1/r+1/s)=j
k+1>(j+1)/r ∨ m+1>(j+1)/s⇒k+m+2>j+1
∴k+m<j<k+m+1이므로 j가 정수라는 가정에 모순. ■