Beatty Sequence와 Rayleigh's theorem

2017. 12. 15. 22:46수학 이론/이산수학

시험기간인데 포스팅은 하고 싶어서 내뱉는 짧은 주제.

이산수학이 맞는지는 모르겠지만... 이것과 연관된 이산수학 문제가 하나 있으니까 이 카테고리에 포스팅하기로 한다.


1. Definition of Beatty Sequence


양의 무리수 rr에 대해서 Beatty Sequence Br\mathcal{B}_r을 다음과 같이 정의한다.


Br:={r,2r,,nr} \mathcal{B}_r := \{ \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \cdots, \lfloor nr \rfloor \cdots \}


2. Rayleigh's theorem


두 양수 무리수 r,sr,s1r+1s=1\frac{1}{r}+\frac{1}{s} = 1을 만족할 때, Br\mathcal{B}_rBs\mathcal{B}_s는 자연수 집합을 분할한다.


귀류법을 이용하여 증명한다.


case I : BrBs\text{case I : } \mathcal{B}_r \cap \mathcal{B}_s \neq \emptyset


즉, j=kr =msj = \lfloor kr \rfloor = \lfloor ms \rfloork,mZk,m \in \mathbb{Z}이 존재하는 경우이다.


jkr<j+1jrk<j+1rj \le kr < j+1 \Rightarrow \frac{j}{r} \le k < \frac{j+1}{r}

jms<j+1jsm<j+1sj \le ms < j+1 \Rightarrow \frac{j}{s} \le m < \frac{j+1}{s}


양변을 더하면 j(1r+1s)=jk+m(j+1)(1r+1s)=j+1j(\frac{1}{r}+\frac{1}{s}) = j \le k+m \le (j+1)\cdot (\frac{1}{r}+\frac{1}{s}) = j+1 이므로, 


j<k+mj+1j < k+m \le j+1이 되어 k+mk+m이 정수라는 가정에 모순.


case II : BrBsN\text{case II : } \mathcal{B}_r \cup \mathcal{B}_s \neq \mathbb{N}


이는 두 Beatty Sequence 중 어느 것에도 속하지 않는, 

즉 \( \ kr  < j \ \vee \ j+1 < (k+1)r,  ms  < j \vee j+1< (m+1)s \rfloor\)인 jj가 존재하는 경우이다. 


원래는 (k+1)rj+1(k+1)r \ge j+1로 써야 하지만, rr이 무리수이므로 등호를 제거할 수 있다. (ss도 마찬가지)


case I와 마찬가지로 식을 정리하면 


k<j/r  m<j/sk+m<j(1/r+1/s)=jk < j/r \ \vee \ m < j/s \Rightarrow k+m < j(1/r + 1/s) = j

k+1>(j+1)/r   m+1>(j+1)/sk+m+2>j+1k+1 > (j+1)/r  \ \vee \ m+1 > (j+1)/s \Rightarrow k+m+2 > j+1


k+m<j<k+m+1\therefore k+m < j < k+m+1이므로 jj가 정수라는 가정에 모순. \blacksquare

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