LYM inequality와 Sperner's theorem

2018. 7. 23. 16:02수학 이론/이산수학

방청소를 하다가 영재고 대비 시절의 교재를 발견했다. 그 교재 마지막 장에 과하게 졸려보이는 글씨로(...) 이 정리와 증명이 쓰여 있길래 대충 재구성해본다.


이걸 조사하면서 Sperner를 슈페르너로 읽는다는 걸 처음 알았다. 지금까지 스퍼너로 읽었는데 ㅁㄴㅇㄹ


Definition. (Sperner Family)


[n]:={1,2,n}[n] := \{1,2,\cdots n\}이라 할 때, F2[n]\mathcal{F} \subset 2^{[n]}가 임의의 두 원소 A,BFA, B \in \mathcal{F}에 대해 ABA=BA \subset B \Leftrightarrow A = B를 만족할 때 F\mathcal{F}[n][n]의 Sperner Family라고 한다. 

\subset을 순서관계로 생각했을 때의 antichain과 동치이다.




Theorem. (Sperner, 1928)


[n][n]의 Sperner family의 크기는 최대 (nn/2) \begin{pmatrix} n \\ \left \lfloor n/2 \right \rfloor \end{pmatrix} 이다.




Lemma. (Lubell, 1966), a.k.a. LYM ineq.


[n][n]의 Sperner family FF의 원소 중 크기가 kk인 것의 개수를 fkf_k라고 하자. 다음 부등식이 성립한다.

k=0nfk(n k )1 \sum_{k=0}^{n} \frac{f_k}{\begin{pmatrix} n \\  k  \end{pmatrix}} \le 1













등호는 FF[n][n]n2\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor-subset들을 모두 모아놓은 집합, 즉 F=[n[n/2]]F = \begin{bmatrix} n \\ [n/2] \end{bmatrix}일 때 성립한다.


일반적으로 [n][n]의 k-subset들을 모아놓은 family를 [nk]\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}라고 표기하기도 하는 모양이다. 

개인적으로 


- [nk]=(nk)\left|\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}\right| = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}.

- i=0n[nk]=2[n]\bigcup\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} = 2^{[n]}


의 사실과 호환된다는 점에서 잘 만든 표기라고 생각한다.

사족으로, 모든 [nk]\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}들은 자명히 Sperner family가 된다.