AOPS 직접 풀이 #004 (미완?)

#003은 현재 미완성 + 비공개 상태이다.

문제 링크

모든 실수 \(x,y\)에 대해 다음 식을 만족하는 함수 \(f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\)를 모두 구하여라.

$$ \frac{f(x)+f(y)}{2} = f(\frac{x+y}{2}) + (x-y)^2 $$

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\((x-y)^2 = 2x^2 + 2y^2 - (x+y)^2\)이므로, 양변을 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\frac{(f(x)-4x^2) \ + \ (f(y)-4y^2)}{2} = f(\frac{x+y}{2})-(x+y)^2$$

따라서 \(g(x) = f(x) - 4x^2\)로 두면 다음이 성립한다.

$$ g(x)+g(y) = 2g(\frac{x+y}{2}) $$

이 때 \(h(x) = g(x)-g(0)\)에 대해서도 똑같은 식이 성립하고, \(h(0)=0\)이므로,

$$ h(x)+h(y) = 2h(\frac{x+y}{2}) = h(x+y)+h(0) = h(x+y)$$

가 성립한다.

근데 여기서 암만 생각해봐도 연속, 단조, 유계 같은 추가 조건들을 못 잡겠다....

그래서 코시함수방정식의 해 \(a(x)\)에 대해서

\(f(x) = 4x^2 + a(x) + f(0) (\because g(0) = f(0))\)라고 결론을 내리기로 했다.