"AOPS 문제들이 너무 체계적이지 않다"라고 친구에게 불평했더니 IMO 쇼트를 풀어보라는 답변이 돌아왔다. 그 친구의 말을 믿어도 될런지 모르겠지만... 일단 풀거나 Give up한 순서대로 포스팅해보자.
N2. (solved, 171231)
Find all natural number n s.t. τ(n)3=4n.
전형적인 수론함수 노가다 문제이다. 내가 잘 푸는 몇 안되는 유형...
일단 n을 다음과 같이 소인수분해할 수 있음이 자명하다.
n=23b+1⋅p13a1p23a2⋯pt3at
이 때 (4nτ(n)3)31 =2b+13b+2⋅∏i=1tpiai3ai+1=1의 해를 찾고 싶다.
이 때 임의의 a와 임의의 홀수 소수 p에 대해 pa3a+1≤ 34가 성립함을 쉽게 증명할 수 있으므로, pa3a+1<43인 a,p는 사용할 수 없다.
이 때 p>7인 경우 pa3a+1<74<43이므로 불가능하다.
효율적인 counting을 위해 b를 생각해 보자. (f(b):=2b+13b+2
b=0 : f(b)=1이므로 자체로 solution이 될 수 있다. n=2 의 해를 찾았다. p=3,5에 대해서 pa3a+1=1인 a가 존재하지 않으므로 추가적인 해는 없다.
b=1 : f(b)=45이므로 분모에 5를 추가해야 한다. p=5,a=1인 경우가 가능하고, 이 때 n=2000의 해를 찾았다. 마찬가지로 다른 해는 없다.
b=2 : f(b)=1이다. 이 자체로 해이고, n=128이다. 추가적인 해는 마찬가지로 없다.
b>3 : f(b)≤167<43이므로 더 이상의 해는 없다.
따라서 가능한 n은 2,128,2000뿐이다.
A1. (Gived Up, 180101)
For all positive real number a,b,c satisfy abc=1,
Prove that (a−1+b1)(b−1+c1)(c−1+a1)≤1.
치환 아이디어까진 좋았는데 계산병이 도져서....
양수 x,y,z에 대해 a=yx,b=zy,c=xz라고 두면, 주어진 명제는 다음과 같이 바뀐다.
(x−y+z)(y−z+x)(z−x+y)≤xyz
이 때 x−y+z=p,y−z+x=q,z−x+y=r이라고 두면 p+q,q+r,r+p>0이므로 p,q,r 중 최대 하나만 음수이다.
또한 주어진 부등식은 다음과 같이 바뀐다.
8pqr≤(p+q)(q+r)(r+p)
이 때 p,q,r중 하나가 음수인 경우 좌변은 음수, 우변은 양수이므로 성립. 셋 다 양수인 경우는 AM-GM에 의해 성립한다. ■