IMO Shortlist 2000

2017. 12. 31. 13:03수학 문풀/기타

"AOPS 문제들이 너무 체계적이지 않다"라고 친구에게 불평했더니 IMO 쇼트를 풀어보라는 답변이 돌아왔다. 그 친구의 말을 믿어도 될런지 모르겠지만... 일단 풀거나 Give up한 순서대로 포스팅해보자.


N2. (solved, 171231)

Find all natural number nn s.t. τ(n)3=4n\tau (n)^3 = 4n.

전형적인 수론함수 노가다 문제이다. 내가 잘 푸는 몇 안되는 유형...

일단 nn을 다음과 같이 소인수분해할 수 있음이 자명하다.


n=23b+1p13a1p23a2pt3at n = 2^{3b+1} \cdot p_{1}^{3a_1}p_{2}^{3a_2} \cdots p_{t}^{3a_{t}}


이 때 (τ(n)34n)13 =3b+22b+1i=1t3ai+1piai=1(\frac{\tau(n)^3}{4n})^{\frac{1}{3}} = \frac{3b+2}{2^{b+1}} \cdot \prod_{i=1}^{t} \frac{3a_{i}+1}{p_i^{a_i}} = 1의 해를 찾고 싶다.


이 때 임의의 aa와 임의의 홀수 소수 pp에 대해 3a+1pa 43\frac{3a+1}{p^a} \le \frac{4}{3}가 성립함을 쉽게 증명할 수 있으므로, 3a+1pa<34\frac{3a+1}{p^a} < \frac{3}{4}a,pa,p는 사용할 수 없다.


이 때 p>7p > 7인 경우 3a+1pa<47<34\frac{3a+1}{p^a} < \frac{4}{7} < \frac{3}{4}이므로 불가능하다.


효율적인 counting을 위해 bb를 생각해 보자. (f(b):=3b+22b+1(f(b) := \frac{3b+2}{2^{b+1}}


b=0b = 0 : f(b)=1f(b) = 1이므로 자체로 solution이 될 수 있다. n=2n=2 의 해를 찾았다. p=3,5p = 3,5에 대해서 3a+1pa=1\frac{3a+1}{p^a} = 1aa가 존재하지 않으므로 추가적인 해는 없다.


b=1b = 1 : f(b)=54f(b) = \frac{5}{4}이므로 분모에 5를 추가해야 한다. p=5,a=1p = 5, a = 1인 경우가 가능하고, 이 때 n=2000n = 2000의 해를 찾았다. 마찬가지로 다른 해는 없다.


b=2b = 2 : f(b)=1f(b) = 1이다. 이 자체로 해이고, n=128n = 128이다. 추가적인 해는 마찬가지로 없다.


b>3b > 3 : f(b)716<34f(b) \le \frac{7}{16} < \frac{3}{4}이므로 더 이상의 해는 없다.


따라서 가능한 nn은  2,128,20002, 128, 2000뿐이다.


A1. (Gived Up, 180101)

For all positive real number a,b,ca,b,c satisfy abc=1abc = 1

Prove that (a1+1b)(b1+1c)(c1+1a)1(a-1+\frac{1}{b})(b-1+\frac{1}{c})(c-1+\frac{1}{a}) \le 1.

치환 아이디어까진 좋았는데 계산병이 도져서....


양수 x,y,zx,y,z에 대해 a=xy,b=yz,c=zxa = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x}라고 두면, 주어진 명제는 다음과 같이 바뀐다.


(xy+z)(yz+x)(zx+y)xyz (x-y+z)(y-z+x)(z-x+y) \le xyz


이 때 xy+z=p,yz+x=q,zx+y=rx-y+z = p, y-z+x = q, z-x+y = r이라고 두면 p+q,q+r,r+p>0p+q, q+r, r+p > 0이므로 p,q,rp,q,r 중 최대 하나만 음수이다.


또한 주어진 부등식은 다음과 같이 바뀐다.


8pqr(p+q)(q+r)(r+p) 8pqr \le (p+q)(q+r)(r+p)


이 때 p,q,rp,q,r중 하나가 음수인 경우 좌변은 음수, 우변은 양수이므로 성립. 셋 다 양수인 경우는 AM-GM\text{AM-GM}에 의해 성립한다. \blacksquare

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