Titu - 104 정수론 풀이 #003

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#003.

2개 이상의 연속한 양의 정수의 합으로 나타낼 수 있는 양의 정수를 '빼어나다'고 한다. 빼어나지 않은 수들을 모두 찾아라.

\(2^{k}\) \((k \ge 0)\)

내 풀이와 책 풀이가 일치함.

\(n, n+1, \cdots , n+k\)의 합은 \(S(n,k)=\frac{(2n+k)(k+1)}{2}\)로 나타낼 수 있다.

\(k+1\) 과 \(k+2n\)의 홀짝성이 다르므로, 이 수 중 하나는 홀수이며, 즉 홀수 소인수를 가진다.

따라서 홀수 소인수가 없는 \(2^k\)꼴의 수는 빼어나지 않다.

이제 홀수 소인수를 가지는 모든 수가 빼어남을 보이자.

\(x={2}^{L}\cdot m (m : odd) \)이라 두자.

이 때 \(m \ge 2^L\)이면 \(S(n=\frac{m-k}{2},k={2}^{L+1}-1)=x\)이고, 반대의 경우 \(S(n=\frac{2^{L+1}-k}{2},k=m-1)=x\)이다.