[Apostol 해석적 정수론] Chap 2. 1~11

Apostol의 해석적 정수론을 공부해 보았다. 대부분 증명을 혼자 쓰다 보니 오류가 있을 수도...? 오류 제보 환영합니다.

Notation :

D : Definition

T : Thm.

C : Corollary

별 말 없으면 \(p\)는 소수

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D1. (Mobius Func.)

\( \mu(n) = \begin{cases} 1 \quad (n = 1) \\ 0 \quad (\exists \ p \ s.t. \ p^{2} | n) \\ {(-1)}^{\omega(n)} \quad (otherwise) \end{cases}\)

( \(\omega(n)\) : \(n\)의 서로 다른 소인수 개수)

T2.

$$ \sum_{d|n}{\mu(d)} = I(n) = \lfloor \frac{1}{n} \rfloor $$

pf)

\(n=1\) : 자명

\(n>1\) : \( \sum_{d|n} {\mu(d)} = \prod_{p|n} (1+(-1)+0+\cdots ) = 0\) 임이 자명 \( \blacksquare \)

D3. (Euler Totient Func.)

\( \phi (n) = \sum_{k=1}^{n}' 1\)

\( \sum ' \) notation은 서로소인 값들만 더한다는 뜻.

T4.

$$ \sum_{d|n}{\phi(d)} = n $$

pf)

\( S_n := \{ \frac{x}{n} | 1 \le x \le n \} \)

\( |S_n| = n = \sum_{d|n} \phi(d) \ \blacksquare \)

T5.

$$ \phi(n) = \sum_{d|n} \mu(d) \frac{n}{d} $$

pf)

\( \phi(n) = \sum_{k=1}^{n} {I(gcd(n,k))} \\ =_{\text{by T2}}  \quad \sum_{k=1}^{n} \sum_{d | gcd(n,k)} \mu(d) \\ = \sum_{k=1}^{n} \sum_{d|n \wedge d|k} \mu(d) \\ = \sum_{g|n} \sum_{k=1}^{n/g} \mu(g) = \sum_{g|n} \mu(g) \cdot \frac{n}{g} \ \blacksquare \)

D6. (Dirichlet Multiplication)

$$ f \ast g := \sum_{d|n} f(d)g(\frac{n}{d}) $$

ex) : \( \phi = \mu \ast N \) (\(N(n) := n, N^{k}(n) := n^k\))

C6-1. \(f \ast (g \ast h) = (f \ast g) \ast h\) (\(\ast \) is associative.)

D7. (Dirichlet Inverse)

$$ f^{-1} := g \ s.t. \ f \ast g = g \ast f = I $$

T8 .

$$ f(1) \neq 0 \Rightarrow f^{-1} \text{ is unique} $$

pf)

[Induction]

\(n=1 \ : \ f^{-1}(1) = \frac{1}{f(1)}\)

\(n>1 \ : \ (f \ast f^{-1} ) (n) = 0 \rightarrow \text{recursion.} \blacksquare\)

D9. (\(u\)-func.)

\(u(n) :=1, \therefore u=N^0 \)

C9-1.

\(\mu \ast u = I \\ \therefore u = {\mu}^{-1}\)

D10. (Mangoldt Func.)

\(\Lambda(n) := \begin{cases} log (p) & (n=p^m) \\ 0 & (otherwise) \end{cases} \)

T11. (Mobius Inversion Formula)

\(f(n) = \sum_{d|n} g(d) \Leftrightarrow g(n) = \sum_{d|n} \mu(d) f(\frac{n}{d})\)

pf) \(f = u \ast g \Leftrightarrow g = \mu \ast f  \ \blacksquare \)

ex) \(\text{log} = \Lambda \ast u \Rightarrow \Lambda = \text{log}\ast\mu \)