소수의 sum-of-square 표현은 존재한다면 유일하다!

stackexchange에서 본 내용.

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페르마의 두 제곱수 정리에 의해, \(4k+1\)꼴의 소수는 두 제곱수의 합으로 표현이 가능하다. 이번엔 그 표현이 유일함을 보이자.

기본적으로 꼴은 귀류.

1. Algebraic(?) NT

\(p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \)으로 표현될 수 있다고 하자. (\(\{a,b\}\neq\{c,d\}\)) 

그럼 다음과 같이 \(p\)는 최소 4개의 서로 다른 가우스 소인수를 가진다.

$$p = (a+bi)(a-bi) = (c+di)(c-di) $$

그런데 가우스 정수의 집합 \(Z[i]\)는 

Unique Factorization Domain이기 때문에,

(*소인수 분해 꼴이 유일한 집합인 것 같다. 머수ㅡ알못이라 한참 후에야 추가가 가능할 듯하다) 

이는 \(a+bi\) 또는 \(a-bi\) 중 하나가 가우스 소수가 아님을 의미한다.

일반성을 잃지 않고, \(a+bi = (r+si)(u+vi)\)로 표현될 수 있다고 하면,

그 켤레인 \(a-bi\) 역시 \(a-bi = (r-si)(u-vi)\)로 표현될 수 있으므로, 

결국 \(p = (r+si)(r-si)(u+vi)(u-vi) = (r^2+s^2)(u^2+v^2) \)가 되어 

\(p\)가 합성수라는 결론이 도출되므로 모순.\(\blacksquare\)

2. NGD-tic NT

(준비중)