2편에서 다룬 Lang1 ~ Lang5를 활용해서 Solvability와 관련된 이야기를 해보도록 하자.사실 Solvable group의 떡밥은 Galois Theory쯤 가야 풀리지만, 우리 랭형은 존나 강하시기 때문에 그런 건 신경쓰지 않으신다. 꼬우면 너가 Chapter IV를 보던가! 하신다. Tower of subgroups Group \(G\)에 대해서, \(G_{i} \ge G_{i+1}\)인 subgroup들의 나열을 Tower라고 한다. $$\{G_{i}\} := G = G_{0} \ge G_{1} \ge G_{2} \ge \cdots \ge G_{m} $$ 만약 모든 \(i\)에 대해서 \(G_{i+1} \unlhd G_{i}\)면 이 Tower를 Normal tower라고 한다.Nor..

A B C D E F CodeForces Gym일부러 집중력이 떨어진 상태에서 짧은 대회를 쳐봤다. 어떤 실수를 얼마나 하는지 보려고..템플릿도 안 켜고, 중간에 엎드려 잘 뻔하고... 결국 집중력 저하로 1시간만에 던졌다.DE는 풀 수 있을 것 같은데, PS를 크게 쉰 이후로 자료구조 구현에 굉장히 오랜 시간이 걸리고 있다. 보완이 필요하다. 풀이는 D E 푼 뒤에 올리는 걸로 하자.

계속해서 가자.Canonical Map Canonical Map \(\varphi : G \to G/H\)는 말 그대로 \(\varphi(x) = xH\)인 '압축' Map이다.이 자체가 중요하다기보단, 앞으로 Group Homomorphism을 쪼갤(factorize) 때 얘가 factor로 많이 등장한다. Lang1. 얘에 따로 이름이 있긴 한 것 같은데, 책 저자마다 번호가 다르단다. 난 그냥 Lang1이라고 부른다. Group homomorphism \(f : G \to G'\)이 있다. 이 때 \(H = \ker (f)\)라고 하자. 이 때 \(f\)를 (Canonical Map \(\varphi\)) + (유일하게 정의되는 injective map \(f_{*} : G/H \to G'\))로 ..

Lang에게 열심히 고통받고 있다.앞으로도 이해가 안 가는 내용을 부정기적으로 끄적거리려고 한다. Note. 여기서는 Lang만 쓰는 것 같은 Group - wise 곱셈 notation을 차용한다.즉, \(aG = \left\{ ag : g \in G\right\}, Ga = \left\{ ga : g \in G\right\}\)이고, \(GH = \left\{ gh : g \in G, h \in H \right\}\)이다.이것들을 굉장히 암시적으로, 또 빈번히 써먹을 예정이다. 따라서 계산 하나하나가 그다지 자명하지 않으니 잘 따라와주시길. Motivation: Kernel Group Normal subgroup의 아이디어는 Group homomorphism의 Kernel에서 시작한다. Group h..

Lagrange's theorem은 군 \(G\)의 부분군 \(H \le G\)에 대해, \(|H|\)가 \(|G|\)의 약수라는 정리이다.조금 더 일반적으로는 이렇게 쓸 수 있다.$$ (G : K) = (G : H)(H : K) $$ \(H \le G\)에 대해 \((G : H)\)는 \(H\)의 coset의 개수를 의미한다. \(H\)의 coset들이 \(G\)를 분할한다는 것은 쉽게 알 수 있다. Proof. \(H = \bigsqcup_{i} x_{i} K\), \(G = \bigsqcup_{j} y_{j} H\)라고 두자. \(\bigsqcup\)은 disjoint - union을 의미한다. 그렇다면 \(G = \bigcup_{i,j} y_{j}x_{i} K\)로 나타낼 수 있고, 모든 \(y_..

문제 링크 (BOJ) 풀이 슬라이드 (slideshare) 이제는 습관처럼 집을 나가는 PS 실력을 되살리기 위해 쉬운 대회를 풀어보기로 했다. 6시간 (밥 1시간) 을 세팅했고 결과는 7 / 8. B는 디스크립션을 오독해서 전혀 다른 문제를 풀어버렸다😡 A B C D E F G H A < C = F = H < B < E < G < D 난이도는 평이한 수준. 괜찮은 문제들 + 좋은 문제 (D) 로 구성되어 있어서 퀄리티도 나쁘지 않다. 다만 돚거해온 훔친 문제 (E, H)가 2개나 들어와 있다는 게 흠이라면 흠. 문제 푸는 감을 다시 살리기에 굉장히 좋은 셋이다. 빡센 자료구조 문제 / 케이스 분석을 해보고 싶었는데 그런 문제는 안 나왔더라... 일단 B를 제외하고 모든 문제를 큰 무리 없이 푼 건 좋았..