화나는 심층문제

$a, b, c, d \in [0,1]$이다.

$abcd \le \frac{4}{27}$ 또는 $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \le \frac{4}{27}$임을 보여라.

$x = \sqrt{ab}, y = \sqrt{cd}$라고 두자.

$(1-a^2)(1-b^2) = (1-a^2-b^2+(ab)^2) \le 1 - 2ab + (ab)^2 = (1-x^2)^2$이다.

그래서 $(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \le (1-x^2)^{2}(1-y^2)^{2} \le (1-xy)^4$이다.

$abcd \le (xy)^{2}$이므로 결국 $xy \ge \sqrt{\frac{4}{27}}$일 때 $(1-xy)^4 \le \frac{4}{27}$임을 보이면 되고, 계산하면 된다.$\blacksquare$

$a(1-a^2)$는 $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$에서 최댓값 $\frac{2}{3\sqrt{3}}$을 가진다.

저걸 다 곱해서 루트취하면 두 값 중 최솟값은 $\frac{4}{27}$보다 작다.

나는 $a^{2}(1-a^{2})$같은 걸 만들다가 망하고, 울면서 풀이 1로 풀었다.