180822 심층문제

화학과지만 어제 풀어본 심층 문제가 꽤 재미있어서 공유하기로 했다.

Statement.

두 점 \((0,1),(1,0)\)을 지나고, \([0,1]\)에서 연속이며 \((0,1)\)에서 두 번 미분가능한 감소함수 \(f\)가 있다.

\(y = f(x)\)의 그래프를 \(x\)축으로 회전한 부피와 \(y\)축으로 회전한 부피가 같을 때, 다음 물음에 답하시오.

단, 모든 적분은 \(0\)에서 \(1\)까지의 정적분이다.

(1) \(\int \left(f - x\right)^2 dx \)를 구하시오.

(2) \(\int f - f^2 dx \)가 최대가 되는 \(f(x)\)를 구하시오.

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Hint : 1번은 간단하다. \(f(x)\)를 미리 정해놓고 생각한다면?

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(1) 회전체의 부피 조건으로부터, 다음이 성립한다.

$$ \int f^2 dx = - \int x^2 f' dx $$

이때 \(\int x^2 f'dx = x^2 f(=0) - \int 2x f dx\)이므로, 결국 다음의 조건을 얻을 수 있다.

$$ \int f^2 - 2xf dx = 0 $$

따라서 \( \int (f - x)^2 dx = \int x^2 dx = \frac{1}{3}\)이다.

(2) 변분법을 활용하여 \(f(x) = 1 - x\)임을 얻어낼 수 있다. 안타깝게도 이보다 쉬운 heuristic은 없는 것 같다...

(11.08) 있었다!

(sol1) Proposed by Anon

$$ 0 \le \int (f + x - 1)^2 dx = \int f^2 + 2fx - 2f + (x-1)^2 dx = \int 2(f^2 - f) dx + \frac{1}{3} $$

이 식으로부터 곧바로 우리가 원하는 함수의 상계를 얻을 수 있고, \(f = 1 -x\)는 조건을 만족한다.\(\blacksquare\)

(sol2) Gudegy solution by Tamreggi

우리가 최대화하고 싶어하는 함수를 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ J = \int (1-2x) f dx = \int (1-x)f dx - \int xf dx = \int (1-x) f dx - \frac{1}{2} \int f^2 dx $$

이때 \(1-x\)와 \(f\)가 모두 양함수이므로, 코시 - 슈바르츠 부등식에 의해

$$ J \le \left( \int (1-x)^2 dx \int f^2 dx \right) ^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int f^2 dx $$

\(I = \int f^2 dx\)로 두면

$$ J \le \frac{I^{0.5}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{2}I $$

이 때 \(J\)는 \(I = \frac{1}{3}\)일 때 최대가 된다. 그리고 \(f = 1-x\)는 조건을 만족한다.\(\blacksquare\)

(sol3) Linear Algebra? (Proposed by Savano)

함수공간에서 두 함수 \(f,g \in \mathcal{C}[0,1]\) 간의 내적을 다음과 같이 정의하자. 이는 내적공간의 정의를 모두 만족한다.

$$ \left< f , g \right> := \int_{0}^{1} f(x)g(x) dx$$

주어진 조건식은 \(\left< f, 2x - f \right> = 0\)이 되고, 따라서 \(f\)는 중심이 \(x\)이고 원점을 포함하는 어떤 infinite - dimensional sphere (...) 위에 있게 된다.

주어진 문제는 \(\left< f, 1-f \right>\)를 maximize하는 건데, 이는 곧 \(\frac{1}{2} - f\)의 norm을 minimize하는 것과 동치이다.

그런데 이는 \(f\)가 존재하는 구면 상에서 \(\frac{1}{2}\)과 가장 가까운 점을 찾는 것이고, 이는 구의 중심인 \(x\)와 \(\frac{1}{2}\)를 잇는 직선 상에 있어야 하므로 \(\lambda x + (1-\lambda)\frac{1}{2}\)꼴이어야 한다. 개중 \(\lambda = -1\)인 경우만 경계조건을 만족한다. \(\blacksquare\)