2019 연세대 특기자 2번 - 응용문제

원본은 여기.

다음을 만족하는 연속함수 \(f\)는 존재하지 않음을 보여라.

$$ f(0) = 1, \forall n \in \mathbb{Z}_{0} \int_{0}^{1} x^{n} f(x) dx = 0$$

사실 고등학교 수학만으로는 어렵다.

다음의 정리를 받아들이자.

Weierstrass Approximation Theorem : 

구간 \(I = [a,b]\)에서 연속인 함수 \(f\)에 대해, \(f\)에 '평등근사'하는 다항식 \(P(x)\)가 존재한다; 

i.e. 임의의 실수 \(\epsilon>0\)에 대해, 모든 \(x\in I\)에 대해 \(|f(x) - P(x)| < \epsilon\)이도록 하는 다항식 \(P(x)\)가 존재한다.

이제 그리 어렵지 않은 문제로 바뀐다.

임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \( \left( f(x) - P(x)\right)^{2} < \epsilon\)이게 되는 \(P(x)\)를 잡자.

양변을 적분하면

$$ \int_{0}^{1} f(x)^2 - \color{red}{2f(x)P(x)} + P(x)^2 dx < \int_{0}^{1} \epsilon dx = \epsilon $$

인데, 조건에 의해 빨간색 항은 0이 된다.

그리고 \(\int_{0}^{1} f(x)^{2} dx \le \int_{0}^{1} f(x)^{2} + P(x)^2 dx < \epsilon\)이므로,

결국 \(\int_{0}^{1} f(x)^{2} dx = 0\)을 얻는다.

따라서 모든 \(x \in (0,1)\)에 대해 \(f(x) = 0\)이어야 하고, 이는 \(f\)가 연속임에 모순이다.\( _{\blacksquare}\)

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