다음을 만족하는 연속함수 \(f\)는 존재하지 않음을 보여라.
사실 고등학교 수학만으로는 어렵다.
다음의 정리를 받아들이자.
Weierstrass Approximation Theorem :
구간 \(I = [a,b]\)에서 연속인 함수 \(f\)에 대해, \(f\)에 '평등근사'하는 다항식 \(P(x)\)가 존재한다;
i.e. 임의의 실수 \(\epsilon>0\)에 대해, 모든 \(x\in I\)에 대해 \(|f(x) - P(x)| < \epsilon\)이도록 하는 다항식 \(P(x)\)가 존재한다.
이제 그리 어렵지 않은 문제로 바뀐다.
임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \( \left( f(x) - P(x)\right)^{2} < \epsilon\)이게 되는 \(P(x)\)를 잡자.
양변을 적분하면
$$ \int_{0}^{1} f(x)^2 - \color{red}{2f(x)P(x)} + P(x)^2 dx < \int_{0}^{1} \epsilon dx = \epsilon $$
인데, 조건에 의해 빨간색 항은 0이 된다.
그리고 \(\int_{0}^{1} f(x)^{2} dx \le \int_{0}^{1} f(x)^{2} + P(x)^2 dx < \epsilon\)이므로,
결국 \(\int_{0}^{1} f(x)^{2} dx = 0\)을 얻는다.
따라서 모든 \(x \in (0,1)\)에 대해 \(f(x) = 0\)이어야 하고, 이는 \(f\)가 연속임에 모순이다.\( _{\blacksquare}\)