2019 연세대 특기자전형 면접 문제 및 후기

문제를 다 푼 사람의 후기는 여기서 볼 수 있다.

요즘 실패 후기만 쓰는 것 같아서 기분이 별로다. 서울대랑 카이스트는 잘 봐야지!

문제 요약 : 

1. 사골이 되어버린 유형의 확통 문제다.

[1-1] $A \cup B \cup C = \{1, \ldots , 6\}$이고, $|A \cap B| = 2, |B \cap C| = 1$일 때, 가능한 $(A,B,C)$의 개수를 구하여라.

[1-2] $D \cup E = \{7,8,9\}$이고, $|D| > |E| \ge 1$인 $(D,E)$의 개수를 구하여라.

2. 함정에 빠지기 쉽다. 하지만 함정에 빠지지 않는다면 간단히 풀리는 문제다. (난 못풀었다 ㅎ)

다음을 만족하는 $[0,1]$에서 연속인 함수 $f$가 존재하는가?

$$f(0) = 1, \int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} xf(x)dx = \int_{0}^{1} x^2 f(x) dx = 0$$

[면접 전]

들어가기 15분 전쯤 문제가 수학뿐이란 걸 알았다. 모든 과가 한 곳에서 면접을 본다고 할 때부터 불길하긴 했는데... 전날 옥스토비만 보다가 잔 나는 매우 당황했다. 놀라운 것은 화학과 지원자 대부분이 이 사실을 모르고 있었다는 것.

의도한 대로 긴장은 거의 하지 않았다. 수학 교양서 하나를 들고 들어갔는데, 나컴 칼럼으로 쓸만한 내용이 엄청 많다고 생각했다.

[1번 풀이]

1-1은 벤 다이어그램을 그리면 쉽게 해결할 수 있다. 총 7개의 독립적인 영역이 나오는데, 그 중에서 고려를 해야 할 영역은 $AB, AC, ABC$ 3개뿐이다.

$ABC = \emptyset$인 경우에는 $AB$에 2개, $AC$에 1개, 나머지에 3개의 원소를 넣으면 된다. 따라서 $_{6}C_{2} \times 4 \times 4^3 = 3840$가지의 경우의 수가 나온다.

$|ABC| = 1$인 경우에는 $AB$에 1개, $ABC$에 1개. $AC$에 0개가 들어간 뒤 나머지에 4개의 원소를 넣으면 된다. $_{6}P_{2} \times 4^4 = 7680$가지의 경우의 수가 나온다.

전체 답은 $11520$이다.

여담으로 나는 1-2 때문에 $6$을 $9$로 잘못 보고 들어가서 답이 훨씬 크게 나왔는데, 면접관 분들이 잡아주시진 않더라. 얼마나 깎였을까 ㅎㅎㅎ 풀이 설명에는 큰 지장이 없었다.

1-2는 워낙 수가 작아서 다양한 풀이가 나올 수 있다. rkm0959와 풀이가 다르긴 한데 큰 의미는 없다.

rkm은 $|D|$에 대해 경우의 수를 나눴는데, 나는

(D, E가 비지 않는 원소 배정의 가짓수) - ($|D| = |E|$인 원소 배정의 가짓수)

를 2로 나눠서 답을 구했다.

D, E가 비지 않는 배정의 개수는 $3^3 - 2 = 25$가지.

$|D| = |E|$인 배정의 수를 구할 때는 $|D \cap E|$에 따라 경우를 나눴다.

$|D \cap E|$는 $|D| = |E|$ 조건 때문에 홀수여야 하고,

$|D \cap E| = 3$인 경우는 $1$가지.

$|D \cap E| = 1$인 경우는 $3! = 6$가지가 나옴을 간단히 알 수 있다.

따라서 전체 경우의 수는 $\frac{25-1-6}{2} = 9$가지이다.

[2번 풀이]

요약해서 말하면, 저기서는 인테그럴도, 연속도 아무것도 중요하지 않다.

$f(x)$를 그냥 임의로 다항식으로 두면, 저건 그냥 변수가 무한개고 조건식이 3개인 연립방정식이라서 계산만 하면 풀 수 있다.

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1$로 두면 $f(x) = -20x^3 + 30x^2 - 12x + 1$을 얻을 수 있다.

$f(x)$는 다항식일 이유가 없고, 서로 선형독립인 함수 4개만 잡으면 어떻게든 나온다. $f(x) = ae^x + be^{2x} + ce^{3x} + de^{4x}$같이 거지발싸개같은 함수를 데려와도 된다.

사실 이런 문제를 복기하는 이유는 그 문제를 '푸는 방법' 보다는 '못 푸는 상황'에서 어떻게 빠져나오느냐에 있다. 이 문제에서 $f$가 존재하지 않는다고 생각하면 사용할 수 있는 도구가 너무 한정적이게 된다. 기껏해야 $f$를 미분하지 않으면서 부분적분을 여러 번 하는 것인데, 크게 의미있는 정보가 나오지 않는다.

$f$에 주어진 조건은 달랑 $f(0) = 1$과 연속밖에 없기 때문에 이 모든 함수에 대해서 3개의 조건식을 만족시키면서 논의를 전개하기 어렵다는 사실을 알아야 하고, 그것을 알아차리기엔 15분이란 시간이 내겐 짧았다.

항상 어디까지 가정하고 있는지, 어디까지 사실인지를 기억할 필요가 있겠다.