들어가기 15분 전쯤 문제가 수학뿐이란 걸 알았다. 모든 과가 한 곳에서 면접을 본다고 할 때부터 불길하긴 했는데... 전날 옥스토비만 보다가 잔 나는 매우 당황했다. 놀라운 것은 화학과 지원자 대부분이 이 사실을 모르고 있었다는 것.
의도한 대로 긴장은 거의 하지 않았다. 수학 교양서 하나를 들고 들어갔는데, 나컴 칼럼으로 쓸만한 내용이 엄청 많다고 생각했다.
[1번 풀이]
1-1은 벤 다이어그램을 그리면 쉽게 해결할 수 있다. 총 7개의 독립적인 영역이 나오는데, 그 중에서 고려를 해야 할 영역은 \(AB, AC, ABC\) 3개뿐이다.
\(ABC = \emptyset\)인 경우에는 \(AB\)에 2개, \(AC\)에 1개, 나머지에 3개의 원소를 넣으면 된다. 따라서 \( _{6}C_{2} \times 4 \times 4^3 = 3840\)가지의 경우의 수가 나온다.
\(|ABC| = 1\)인 경우에는 \(AB\)에 1개, \(ABC\)에 1개. \(AC\)에 0개가 들어간 뒤 나머지에 4개의 원소를 넣으면 된다. \( _{6}P_{2} \times 4^4 = 7680\)가지의 경우의 수가 나온다.
전체 답은 \(11520\)이다.
여담으로 나는 1-2 때문에 \(6\)을 \(9\)로 잘못 보고 들어가서 답이 훨씬 크게 나왔는데, 면접관 분들이 잡아주시진 않더라. 얼마나 깎였을까 ㅎㅎㅎ 풀이 설명에는 큰 지장이 없었다.
1-2는 워낙 수가 작아서 다양한 풀이가 나올 수 있다. rkm0959와 풀이가 다르긴 한데 큰 의미는 없다.
rkm은 \(|D|\)에 대해 경우의 수를 나눴는데, 나는
(D, E가 비지 않는 원소 배정의 가짓수) - (\(|D| = |E|\)인 원소 배정의 가짓수)
를 2로 나눠서 답을 구했다.
D, E가 비지 않는 배정의 개수는 \(3^3 - 2 = 25\)가지.
\(|D| = |E|\)인 배정의 수를 구할 때는 \(|D \cap E|\)에 따라 경우를 나눴다.
\(|D \cap E|\)는 \(|D| = |E|\) 조건 때문에 홀수여야 하고,
\(|D \cap E| = 3\)인 경우는 \(1\)가지.
\(|D \cap E| = 1\)인 경우는 \(3! = 6\)가지가 나옴을 간단히 알 수 있다.
따라서 전체 경우의 수는 \(\frac{25-1-6}{2} = 9\)가지이다.
[2번 풀이]
요약해서 말하면, 저기서는 인테그럴도, 연속도 아무것도 중요하지 않다.
\(f(x)\)를 그냥 임의로 다항식으로 두면, 저건 그냥 변수가 무한개고 조건식이 3개인 연립방정식이라서 계산만 하면 풀 수 있다.
\(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + 1\)로 두면 \(f(x) = -20x^3 + 30x^2 - 12x + 1\)을 얻을 수 있다.
\(f(x)\)는 다항식일 이유가 없고, 서로 선형독립인 함수 4개만 잡으면 어떻게든 나온다. \(f(x) = ae^x + be^{2x} + ce^{3x} + de^{4x}\)같이 거지발싸개같은 함수를 데려와도 된다.
사실 이런 문제를 복기하는 이유는 그 문제를 '푸는 방법' 보다는 '못 푸는 상황'에서 어떻게 빠져나오느냐에 있다. 이 문제에서 \(f\)가 존재하지 않는다고 생각하면 사용할 수 있는 도구가 너무 한정적이게 된다. 기껏해야 \(f\)를 미분하지 않으면서 부분적분을 여러 번 하는 것인데, 크게 의미있는 정보가 나오지 않는다.
\(f\)에 주어진 조건은 달랑 \(f(0) = 1\)과 연속밖에 없기 때문에 이 모든 함수에 대해서 3개의 조건식을 만족시키면서 논의를 전개하기 어렵다는 사실을 알아야 하고, 그것을 알아차리기엔 15분이란 시간이 내겐 짧았다.