화나는 심층문제

\(a, b, c, d \in [0,1]\)이다.

\(abcd \le \frac{4}{27}\) 또는 \((1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \le \frac{4}{27}\)임을 보여라.

\(x = \sqrt{ab}, y = \sqrt{cd}\)라고 두자.

\((1-a^2)(1-b^2) = (1-a^2-b^2+(ab)^2) \le 1 - 2ab + (ab)^2 = (1-x^2)^2\)이다.

그래서 \((1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)(1-d^2) \le (1-x^2)^{2}(1-y^2)^{2} \le (1-xy)^4\)이다.

\(abcd \le (xy)^{2}\)이므로 결국 \(xy \ge \sqrt{\frac{4}{27}}\)일 때 \((1-xy)^4 \le \frac{4}{27}\)임을 보이면 되고, 계산하면 된다.\(\blacksquare\)

\(a(1-a^2)\)는 \(a = \frac{1}{\sqrt{3}}\)에서 최댓값 \(\frac{2}{3\sqrt{3}}\)을 가진다.

저걸 다 곱해서 루트취하면 두 값 중 최솟값은 \(\frac{4}{27}\)보다 작다.

나는 \(a^{2}(1-a^{2})\)같은 걸 만들다가 망하고, 울면서 풀이 1로 풀었다.