이 포스팅에서 다룰 것은 AKS primality test에 사용하는 lemma 중 하나로, \(n \ge 7\)에 대해 \(\ell_{n} := \mathrm{lcm}(1,2, ... , n) \ge 2^{n}\)이 성립한다는 것이다. 사실 Prime Number Theorem에 의해서 \(\ell_{n} \sim e^{n}\)이 성립하기 때문에, 충분히 큰 \(n\)에 대해서는 자명히 성립하는 부등식이다. 다만 PNT가 좀 overkill이기도 하고, 기왕 non-analytical한 증명이 있으니 이야기해보도록 하자. 증명은 다음의 글에서 가져왔다. https://math.stackexchange.com/questions/851328/textlcm1-2-3-ldots-n-geq-2n-for-n-ge..

문제 링크 10076번: 휴가 문제 지안지아는 타이완에서의 휴가를 계획하고 있다. 휴가동안 지안지아는 도시에서 도시로 이동하고 도시 안의 관광지들을 방문할 것이다. 타이완에는 하나의 고속도로를 따라서 개의 도시들이 위치한다. 이 도시들은 순서대로 0부터 n-1까지의 번호가 붙어있다. 임의의 i(0 < i < n-1)에 대해서, 도시 i의 인접한 도시는 도시 i-1과 i+1이다. 도시 0과 인접한 도시는 도시 1뿐이고, 도시 n-1과 인접한 도시는 도시 n-2뿐이다. 각 도시에는 여러 www.acmicpc.net PS-hell 스터디에서 가장 먼저 해결한 문제다. 문제 내용 길이 \(n\)의 선형 배열 \(a[0\ldots n-1]\)가 있다. \(s\)번째 entry에서 시작해서 한 턴에 다음의 동작들을..

문제 링크 14859번: 세 쌍 서로소 크기가 n인 수열 a1, a2, ..., an이 주어졌을 때, 1 ≤ i < j < k ≤ n 이면서, GCD(ai, aj, ak) = 1인 세 쌍 (i, j, k)의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 여기서 GCD는 최대공약수를 의미한다. www.acmicpc.net \(\text{MAX} = 10^6\) 범위의 수가 \(n\) 개 주어져 있고, 이 중에서 \(\gcd\)가 1인 triplet의 개수를 구하는 문제이다. 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다. 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다. 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다. 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다. 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다. 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다. 썸네일 ..

Ore's theorem은 그래프에 해밀턴 회로가 존재할 조건과 관련된 정리이다. Statement를 바로 쓰면 다음과 같다. \(n \ge 3\)개의 정점으로 구성된 단순그래프 \(G\)에서, 모든 비인접(non-adjacent) 정점 \(x, y\)에 대해 \(\deg x + \deg y \ge n\)이 성립하면, \(G\)에는 해밀턴 회로가 존재한다. 여담으로 좀 더 강한 조건인 Dirac's theorem (모든 정점의 차수가 \(n/2\) 이상)도 있는데, 딱히 Ore's theorem 증명에 비해 쉬운지는 잘 모르겠다. 스포일러 방지선 Step 1. \(G\) is connected 두 정점 \(x\), \(y\)가 이미 인접(adjacent)한 경우에는 상관이 없다. \(x\)와 \(y\)가..

PS에 적당한 시간을 할애하기 위해서, 트위치에서 어려운 문제를 푸는 방송을 시작했다. 방송을 할 때마다 Write-up을 써볼 생각이다. 처음으로 푼 문제는 JAG Spring Contest 2013 I번으로 출제된 The J-th Number이다. 켠왕을 걸 정도로 어려운 문제는 아니었던 것 같지만 11번 틀렸다(...) BOJ 문제 요약 \(N\)개의 빈 배열이 있는데, 여기에 \(M\)개의 삽입 쿼리를 먼저 수행한 뒤 \(Q\)개의 구간 쿼리에 답해야 한다. 삽입 쿼리 : \(a\)번 이상 \(b\)번 이하의 배열에 원소 \(v\)를 삽입한다. 구간 쿼리 : \(s\)번 이상 \(e\)번 이하의 모든 배열에서 \(j\)번째로 작은 수를 출력한다. 이 수가 존재함은 보장된다. 스포방지선 풀이 1. ..

통계학 과목 기말고사 범위에 대해 공부한 내용을 블로그로 옮기기로 한다. 모비율의 추정, 가설 검정 사실 "이산자료의 분석"이라고 하면 뭘 어떻게 분석한다는 건지 감이 1도 오지 않는다. 결국 이 단원에서 하는 모든 짓들은 모비율을 몰라서 생기는 일이라고 보면 된다. 어떤 확률사건(실업, 후보 선호)이 있을 때, 모비율은 곧 실업률, 후보 지지율과 같이 모집단 내에서 특정 속성 "P"를 가진 개체의 비율을 의미한다. 문자로는 \(p\)라고 쓰고, 당연히 모비율의 추정량은 \(\hat{p}\)라고 쓴다. 그럼 \(n\)개의 개체가 있을 때 속성 "P"를 가진 개체의 개수 \(X\)는 자연히 \(B(n,p)\)를 따른다. 따라서 \(\displaystyle \hat{p} = \frac{X}{n}\)은 기댓값..