문제 링크 재활을 위해 IMO보다 부담 없이 건드려볼 수 있는 셋을 선택한다고 했는데... 아직 나한텐 너무 어렵다.문제 셋은 굉장히 좋다. 고인물 테크닉을 요구하지도 않고.나는 4번만 풀이를 봤고, 123은 혼자서 풀었다.스포방지선 1번 (대수) 그사건... \(x = ab^2, y = bc^2, z = ca^2\)으로 치환하면 \(n = 1\) Schur가 된다.어차피 부등식은 이제 나오지 않으니 던져버리자! 2번 (기하) 지오지브라의 힘을 빌렸다. 점을 몇 개 더 잡지만 저 그림을 지워버린 관계로 말로 때우자.잘 그린 그림으로부터, \(MI (\parallel AB)\), \(AC\), \(EF\)가 한 점에서 만난다는 것을 알 수 있다. Lemma) \(U = EF \cap AC\), \(V = ..

1편에서는 기본적인 용어 정의를 조금 했다. 분위기를 환기해서 또 다른 정의를 여러 개 하고(...) 재밌는 이야기로 넘어가는 게 목표.Isotropy Group \(G\)가 \(S\)에 작용한다고 하자. \(s\)의 \(G\)에 대한 isotropy group이란, \(xs = s\)를 만족하는 \(x\)들의 모임을 말한다. 표기는 \(G_{s}\).만약 \(G\)가 \(G\) 위에 conjugation으로 작용한다고 하면, 어떤 원소의 isotropy group은 그 원소의 normalizer와 같다. operation의 kernel을 생각해보자. 모든 \(s\)에 대해서 \(xs = s\)를 만족하는 \(x \in G\)를 말하는 거다. 잘 생각해보면 kernel \(K\)는 모든 isotropy ..

Cyclic group은 쉽고 또 뭐가 없는 관계로 스킵.Group Action은 쉬운데 뭐가 많다... 나중에 문제 풀 때 고통받을 것 같다.Group operation (Group Action) 집합 \(S\) 위로의 Group \(G\)의 작용(Action of \(G\) on \(S\))는 다음의 homomorphism \(\pi : G \to \text{Perm}(S)\)를 의미한다. 여기서 작용당하는 \(S\)는 G-set이라고 부른다. 하지만 저 \(\pi\)는 두 번 다시 등장하지 않는다. 랭형이 \(\pi_{x} \in \text{Perm}(S)\)를 \(s \mapsto xs\)라는 짱짱 강한 multiplicative notation으로 퉁쳐버렸기 때문이다. \(x(ys) = (xy)..

Lang에 적혀 있는 normal subgroup (Section 1.3)은 이게 마지막이다.Feit - Thompson같은 건 나중에 추가될지도 모르지만 굳이 이 단원에...?여담으로, 전 포스팅에서 쓸모없을 것 같다고 했던 butterfly lemma가 바로 여기 나온다. 죄송합니다 나비님...Equivalent Towers Group \(G\)의 두 Tower를 생각해보자. abelian일 필요는 없지만, 끝은 반드시 trivial group이어야 한다. $$ G = H_{0} \triangleright H_{1} \triangleright \cdots \triangleright H_{r} = \{1\} \\ G = K_{0} \triangleright K_{1} \triangleright \cdo..

느그 나비의 차례! *이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.Butterfly Lemma (Zassenhaus) 그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다. Lemma. (Zassenhaus) \(U' \unlhd U\), \(V' \unlhd V\)라고 하자. 이 때\(U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)\) && \..

2편에서 다룬 Lang1 ~ Lang5를 활용해서 Solvability와 관련된 이야기를 해보도록 하자.사실 Solvable group의 떡밥은 Galois Theory쯤 가야 풀리지만, 우리 랭형은 존나 강하시기 때문에 그런 건 신경쓰지 않으신다. 꼬우면 너가 Chapter IV를 보던가! 하신다. Tower of subgroups Group \(G\)에 대해서, \(G_{i} \ge G_{i+1}\)인 subgroup들의 나열을 Tower라고 한다. $$\{G_{i}\} := G = G_{0} \ge G_{1} \ge G_{2} \ge \cdots \ge G_{m} $$ 만약 모든 \(i\)에 대해서 \(G_{i+1} \unlhd G_{i}\)면 이 Tower를 Normal tower라고 한다.Nor..