문제 링크 Community Something appears to not have loaded correctly. artofproblemsolving.com 문제. \(n = p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}} \cdots p_{k}^{e_{k}}\)에 대해 \(\lambda(n)\)은 \((-1)^{e_1 + e_2 + \cdots e_k}\)로 정의된다. (Liouville's function) 다음을 증명하여라: (a) \(\lambda(n) = \lambda(n+1) = 1\)인 \(n\)이 무한히 많다. (b) \(\lambda(n) = \lambda(n+1) = -1\)인 \(n\)이 무한히 많다. 아이디어가 상당히 기초적이면서도 재밌다. 풀이. ...더보기 (a) 편의를 위해, ..

문제 링크 2019-03 Simple spectrum - KAIST Math Problem of the Week Suppose that \( T \) is an \( N \times N \) matrix \[ T = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & 0 & \cdots & 0 \\ b_1 & a_2 & b_2 & \ddots & \vdots \\ 0 & b_2 & a_3 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & … mathsci.kaist.ac.kr \(N \times N\) 실수 행렬 \(T\)가 다음과 같고, 모든 \(b_i > 0\)일 때 \(T\)는 서로 다른 \(N\)개의 eigenvalue를 가짐을 보여라. $$ T = \be..

문제 링크 2019-02 Simplification of an expression with factorials - KAIST Math Problem of the Week For any positive integers m and n, show that \[ C_{n,m} = \frac{(mn)!}{(m!)^n n!} \] is an integer. Recommend on Facebook Tweet about it Print for later Tell a friend Related mathsci.kaist.ac.kr POW라는 걸 믿을 수 없을 정도로 쉬운 문제가 나와버렸다. 스포방지 안할래... 문제. 모든 자연수 \(n,m\)에 대해, 다음이 정수임을 보여라. $$ C_{n,m} = \frac{(nm)!..

2019.03.27 Revised. 원본: 2017.09.10 표본분산 \(S^2\)는 \(\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n}(\bar{X}-X_k)^2\)로 정의된다. 그런데 분모의 꺼림칙한 \(n-1\)은 일반적으로 '자유도'(degree of freedom)라는 개념으로 설명하는데, 대략 "평균 \(\bar{X}\)는 이미 정해져 있으니까(?) 자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수는 \(n-1\)개 밖에 없어!" 같은 뉘앙스로 설명한다. 근데 이 설명이 도저히 납득이 가지 않는다. 사실 자유도를 이용한 설명은 다분히 작위적인 느낌이 든다. '자유도'라는 개념을 "자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수"와 같은 의미로 사용하는 경우를 본 적이 없다. 애초에 통계학적으로 의미가 있는지조차도..

최근에 양자화학을 공부할 일이 생겼는데 무려 불확정성 원리가 연습문제로 나왔다. 관련 개념을 정리해 둘 필요가 있겠다 싶어 적어둔다. 수학적으로 엄밀한 내용 이외에는 전부 나의 주관이므로 받아들이지 않는 것을 권장한다. Expectation value와 Uncertainty 양자역학에서 observable \(A\)를 '측정'한다는 것은, 실제로는 현재 상태 \(\left|\psi\right>\)에 \(A\)를 작용시켰을 때 그 고유값(eigenvalue)을 보게 되는 것이다.일반적으로, 임의의 상태 \(\left|\psi\right>\)에서 \(A\)를 관측한 기댓값(expectational value) \(\left_{\psi}\)는 \(\left_{\psi} := \left\)로 정의된다. 이 정의..

HOLICS 18 문제로 출제된 문제다. 진짜 선형대수 문제인 줄 알고 처박아놨다가 쉬운 문제인 걸 알았다... 문제 링크 스포방지선 썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방지를 위한 텍스트입니다.썸네일 스포 방..