Lang-ish proof on Lagrange's theorem

Lagrange's theorem은 군 \(G\)의 부분군 \(H \le G\)에 대해, \(|H|\)가 \(|G|\)의 약수라는 정리이다.

조금 더 일반적으로는 이렇게 쓸 수 있다.

$$ (G : K) = (G : H)(H : K) $$

\(H \le G\)에 대해 \((G : H)\)는 \(H\)의 coset의 개수를 의미한다. \(H\)의 coset들이 \(G\)를 분할한다는 것은 쉽게 알 수 있다.

Proof.

\(H = \bigsqcup_{i} x_{i} K\), \(G = \bigsqcup_{j} y_{j} H\)라고 두자. \(\bigsqcup\)은 disjoint - union을 의미한다.

그렇다면 \(G = \bigcup_{i,j} y_{j}x_{i} K\)로 나타낼 수 있고, 모든 \(y_{j}x_{i}K\)가 같거나 disjoint하다는 걸 보이면 된다.

그런데 Lang은 군끼리 곱하는(...) 혁신적인 연산을 아무렇지 않게 초장부터 써왔으므로, 이 표기를 부담없이 사용하면 증명이 수월하다.

\(G \le A\), \(H \le A\)에 대해

\(GH := \left\{ gh : g \in G, h \in H \right\}\)로 정의하자.

이 때 \(K \le H\)이므로 \(KH = H\)임이 자명하다. 왜냐면 임의의 \(k \in K, h \in H\)에 대해 \(k^{-1}h \in H\)니까!

If \(y_{a}x_{b}K = y_{c}x_{d}K\) :

\(y_{a}x_{b}KH = y_{c}x_{d}KH\) (양변에 H를 곱한다)

\(y_{a}x_{b}H = y_{c}x_{d}H\)

이 때, \(x_{i} \in H\)이므로 \(x_{b}H = x_{d}H = H\).

따라서 \(y_{a}H = y_{c}H\)인데, 양변에 \(G\)를 곱하면 된다.

애초에 \(y_{i}H\)가 \(H\)의 left coset이고, 이들은 \(G\)를 분할한다는 사실이 알려져 있으므로 증명은 끝난다.