Normal Subgroup 이야기 (2) - Canonical Map과 Isomorphism Theorems

계속해서 가자.

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Canonical Map

Canonical Map \(\varphi : G \to G/H\)는 말 그대로 \(\varphi(x) = xH\)인 '압축' Map이다.

이 자체가 중요하다기보단, 앞으로 Group Homomorphism을 쪼갤(factorize) 때 얘가 factor로 많이 등장한다.

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Lang1.

얘에 따로 이름이 있긴 한 것 같은데, 책 저자마다 번호가 다르단다. 난 그냥 Lang1이라고 부른다.

Group homomorphism \(f : G \to G'\)이 있다. 이 때 \(H = \ker (f)\)라고 하자.

이 때 \(f\)를 (Canonical Map \(\varphi\)) + (유일하게 정의되는 injective map \(f_{*} : G/H \to G'\))로 쪼갤 수 있다.

\(f_{*}(xH) = f(x)\)가 유일하게 가능한 대응임은 쉽게 알 수 있다. 그리고 다음의 isomorphism을 유도할 수도 있다.

\(f_{**} : G/H \to \text{im} (f)\)

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Lang2.

얘가 중요한지는 잘 모르겠다. 하지만 이미 나머지를 Lang3 ~ Lang5라고 이름붙였기 때문에 하는 수 없다.

임의의 \(H \le G\)에 대해서, 다음의 \(N\)을 잡자:

$$ N := \bigcap_{H \le K \unlhd G} K $$

참고로 \(H \le G \unlhd G\)이기 때문에 \(K\)가 존재하지 않을 일은 없다.

어쨌든, 만약 gHom(=group homomorphism) \(f : G \to G'\)의 kernel이 \(N\)을 포함한다면,

\(f\)는 \(\varphi\)와 \(f_{*}\)로 유일하게 쪼갤 수 있다.

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Lang3.

\(H \unlhd K \unlhd G\)를 생각하자.

\(f : G/K \to G/H\)를 \(f(xK) = xH\)로 두면 homomorphism + kernel이 나와서, 다음의 isomorphism theorem을 얻게 된다.

$$ (G/K)/(H/K) \approx G/H $$

Lang이 좋아하는 commutative diagram도 하나 그릴 수 있는데 TikZ가 없으므로 생략.

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Lang4.

\(H, K \le G\)이고, \(H \le N_{K}\)라고 하자.

이 때 다음의 isomorphism theorem이 성립한다.

$$ H / (K \cap H) \approx HK / K $$

gHom \(f : H \to HK/K\)를 \(f(h) = hK\)로 두면 kernel이 \(K \cap H\)가 나온다.

또 \(K \cap H \unlhd H\)는 자명하고, \(K \unlhd HK\)는 1편에서 보였다.

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Lang5.

gHom \(f : G \to G'\)을 생각하자. 이 때 \(H' \unlhd G'\)이라면,

\(H = f^{-1}(H') \unlhd G\)이다. \(f(xHx^{-1}) \subset H'\)임을 보일 수 있기 때문.

중요한 건 \(f\)로부터 \(\bar{f} : G/H \to G'/H'\)의 injective homomorphism을 얻어낼 수 있다는 거다.

정확히는 \(f\)와 canonical map \(\varphi\)를 엮은 사상의 kernel이 \(H\)라는 것에서 착안한다.

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이 정리들은 하나하나를 놓고 보면 비실비실하고 별 쓸 데가 없어 보이지만 나중에 꽤나 유용한 보조정리로 쓰인다.

나중에 이야기할 때도 LangX와 같이 cite하도록 하겠다.