Normal Subgroup 이야기 (3) - Solvable group

2편에서 다룬 Lang1 ~ Lang5를 활용해서 Solvability와 관련된 이야기를 해보도록 하자.

사실 Solvable group의 떡밥은 Galois Theory쯤 가야 풀리지만, 우리 랭형은 존나 강하시기 때문에 그런 건 신경쓰지 않으신다. 꼬우면 너가 Chapter IV를 보던가! 하신다.

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Tower of subgroups

Group $G$에 대해서, $G_{i} \ge G_{i+1}$인 subgroup들의 나열을 Tower라고 한다.

$$\{G_{i}\} := G = G_{0} \ge G_{1} \ge G_{2} \ge \cdots \ge G_{m}$$

만약 모든 $i$에 대해서 $G_{i+1} \unlhd G_{i}$면 이 Tower를 Normal tower라고 한다.

Normal tower에 대해서,

$G_{i}/G_{i+1}$이 abelian이면 abelian tower,

$G_{i}/G_{i+1}$이 cyclic이면 cyclic tower라고 한다.

gHom(Group homomorphism) $f : G \to G'$을 생각하자.

$G'$에 대한 Tower $\{G_{i}'\}$가 normal tower일 때, $\{G_{i}=f^{-1}(G_{i}')\}$는 Lang5에 의해 normal tower이다.

또, Lang5에서 유도되는 injective homomorphism $f$를 생각하면, $\{G_{i}\}$는 $\{G_{i}'\}$의 abelian/cyclic property도 그대로 가져온다는 것을 알 수 있다.

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Refinement of a tower

Tower $\{G_{i}\}$에 대해서, Tower 중간중간에 $G_{i} \ge K \ge G_{i+1}$을 만족하는 $K$들을 집어넣어서 만든 새로운 Tower를 해당 Tower의 refinement라고 한다.

또, 어떤 group $G$가 Solvable하다는 것은, 그 마지막 원소가 $G_{m} = \{1\}$이 되는 적당한 abelian tower $\{G_{i}\}$가 존재한다는 것이다.

Proposition.

(1) Finite group $G$를 생각하자. $G$의 abelian tower는 cyclic refinement를 포함한다.

(2) Finite group $G$가 solvable하다면, $G$는 마지막이 $\{1\}$인 cyclic tower를 가진다.

pf) (2)는 (1)에서 바로 나오는 것이므로 (1)을 보이면 된다.

abelian tower의 정의를 생각하면, 임의의 finite abelian group이 cyclic tower를 가진다는 것만 보이면 충분함을 알 수 있다.

$|G|$에 대한 귀납을 걸고, $1 \neq x \in G$를 하나 잡아서 $G_{1} = G_{0}/\left<x\right>$로 두면 된다. 

여담이지만 Sylow group을 할 때 Order $p^k$의 group은 모두 solvable하다는 것을 보인다.

Feit - Thompson theorem에 의하면 Order가 홀수인 모든 유한군은 solvable하다.

Thm.

$H \unlhd G$를 생각하자. $G$가 solvable인 것은 $H$, $G/H$가 모두 solvable인 것과 동치이다.

$\Leftarrow)$

자명하다. $H$의 tower와 $G/H$의 tower를 이어붙인다고 생각하면 된다.

Lang3가 자세한 증명을 만들어줄 것이다.

$\Rightarrow)$

1) $G$가 solvable이면 $H$도 solvable이다.

$H_{i} = H \cap G_{i}$를 생각하자. $H_{i+1} \unlhd H_{i}$가 성립한다.

이 때 $H_{i}/H_{i+1} \to G_{i}/G_{i+1}$의 injective homomorphism (embedding) 이 존재하므로 $H_{i}/H_{i+1}$은 abelian property를 보존한다.

2) $G$가 solvable이면 $G/H$도 solvable이다.

$K_{i} = G_{i} / H$를 떠올려보자. (엄밀하지 않다)

그럼 Lang3에 의해 $(G_{i}/H) / (G_{i+1}/H) \approx G_{i}/G_{i+1}$이므로 abelian property는 보존된다.

저 $G_{i}/H$같은 애가 '잘 정의되기만' 하면 만족스러울 것 같다. 아직 $H \unlhd G_{i}$는 보장되지 않았다.

그래서 $L_{i} = HG_{i} / H$를 생각해본다. 이러면 이 tower의 마지막 항 $L_{m} = H\{1\} / H = \{1\}$니까 느낌이 좋다!

이제 $HG_{i}/HG_{i+1} \approx G_{i}/G_{i+1}$만 보이면 된다. $G_{i} \le N_{H} = G$이기 때문에,

$x \in G_{i}$에 대해 $f(xG_{i+1}) = xHG_{i+1}$인 $f$를 잡으면 이 $f$는 bijection이다. 끝.

여담이지만 Lang4에 의해 $HG_{i} / H \approx G_{i} / (G_{i} \cap H)$였다. 이걸로도 증명할 수 있나?

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Commutator Group

갑자기 이상한 교환자군(?)이 튀어나오는데, solvability problem과 관련된 굉장히 강력한 툴이다.

Group $G$의 원소 $x,y$에 대해 $xyx^{-1}y^{-1}$을 $x,y$의 commutator라고 정의한다.

우리가 알고 있는 그 $[x,y]$는 Ring에 가야 나올 것 같다. 지금 포스팅에서만 $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$로 쓰자.

어쨌든, 모든 commutator들에 의해 생성되는 group을 $G$의 commutator group $G^{c}$라고 한다. 여집합 노테이션과 굳이 헷갈리게 쓰는 랭은 변태가 틀림없다.

$G^{c}$는 무려 $G$의 normal subgroup이다. 증명이 쉽다면 쉽고 어렵다면 어려운데, 어쨌든 한줄이다.

$$a[x,y]a^{-1} = axyx^{-1}y^{-1}a^{-1} = (ax)y(ax)^{-1}y^{-1}yay^{-1}a^{-1} = [ax,y][y,a]$$

 

그리고 $G/G^{c}$는 자명히 abelian이다. x가 속한 $G^{c}$의 coset을 $\bar{x}$라고 하면, 모든 $x,y$에 대해 $\bar{x}\bar{y}\bar{x}^{-1}\bar{y}^{-1} = \bar{1}$이기 때문이다.

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Simple Group

$G \neq \{1\}$에 대해서, $G$가 $\{1\},G$ 이외에 정규부분군을 갖지 않을 때 $G$를 simple group이라고 한다.

따라서 Simple group에 대해서는 solvability와 commutativity (is_abelian)이 동치이다. 매우 중요한 성질같다!

하지만 더 이상의 discussion이 나오지는 않는다. 여기까지!