Normal Subgroup 이야기 (3) - Solvable group

2편에서 다룬 Lang1 ~ Lang5를 활용해서 Solvability와 관련된 이야기를 해보도록 하자.

사실 Solvable group의 떡밥은 Galois Theory쯤 가야 풀리지만, 우리 랭형은 존나 강하시기 때문에 그런 건 신경쓰지 않으신다. 꼬우면 너가 Chapter IV를 보던가! 하신다.

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Tower of subgroups

Group \(G\)에 대해서, \(G_{i} \ge G_{i+1}\)인 subgroup들의 나열을 Tower라고 한다.

$$\{G_{i}\} := G = G_{0} \ge G_{1} \ge G_{2} \ge \cdots \ge G_{m} $$

만약 모든 \(i\)에 대해서 \(G_{i+1} \unlhd G_{i}\)면 이 Tower를 Normal tower라고 한다.

Normal tower에 대해서,

\(G_{i}/G_{i+1}\)이 abelian이면 abelian tower,

\(G_{i}/G_{i+1}\)이 cyclic이면 cyclic tower라고 한다.

gHom(Group homomorphism) \(f : G \to G'\)을 생각하자.

\(G'\)에 대한 Tower \(\{G_{i}'\}\)가 normal tower일 때, \(\{G_{i}=f^{-1}(G_{i}')\}\)는 Lang5에 의해 normal tower이다.

또, Lang5에서 유도되는 injective homomorphism \(f\)를 생각하면, \(\{G_{i}\}\)는 \(\{G_{i}'\}\)의 abelian/cyclic property도 그대로 가져온다는 것을 알 수 있다.

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Refinement of a tower

Tower \(\{G_{i}\}\)에 대해서, Tower 중간중간에 \(G_{i} \ge K \ge G_{i+1}\)을 만족하는 \(K\)들을 집어넣어서 만든 새로운 Tower를 해당 Tower의 refinement라고 한다.

또, 어떤 group \(G\)가 Solvable하다는 것은, 그 마지막 원소가 \(G_{m} = \{1\}\)이 되는 적당한 abelian tower \(\{G_{i}\}\)가 존재한다는 것이다.

Proposition.

(1) Finite group \(G\)를 생각하자. \(G\)의 abelian tower는 cyclic refinement를 포함한다.

(2) Finite group \(G\)가 solvable하다면, \(G\)는 마지막이 \(\{1\}\)인 cyclic tower를 가진다.

pf) (2)는 (1)에서 바로 나오는 것이므로 (1)을 보이면 된다.

abelian tower의 정의를 생각하면, 임의의 finite abelian group이 cyclic tower를 가진다는 것만 보이면 충분함을 알 수 있다.

\(|G|\)에 대한 귀납을 걸고, \(1 \neq x \in G\)를 하나 잡아서 \(G_{1} = G_{0}/\left<x\right>\)로 두면 된다. 

여담이지만 Sylow group을 할 때 Order \(p^k\)의 group은 모두 solvable하다는 것을 보인다.

Feit - Thompson theorem에 의하면 Order가 홀수인 모든 유한군은 solvable하다.

Thm.

\(H \unlhd G\)를 생각하자. \(G\)가 solvable인 것은 \(H\), \(G/H\)가 모두 solvable인 것과 동치이다.

\(\Leftarrow)\)

자명하다. \(H\)의 tower와 \(G/H\)의 tower를 이어붙인다고 생각하면 된다.

Lang3가 자세한 증명을 만들어줄 것이다.

\(\Rightarrow)\)

1) \(G\)가 solvable이면 \(H\)도 solvable이다.

\(H_{i} = H \cap G_{i}\)를 생각하자. \(H_{i+1} \unlhd H_{i}\)가 성립한다.

이 때 \(H_{i}/H_{i+1} \to G_{i}/G_{i+1}\)의 injective homomorphism (embedding) 이 존재하므로 \(H_{i}/H_{i+1}\)은 abelian property를 보존한다.

2) \(G\)가 solvable이면 \(G/H\)도 solvable이다.

\(K_{i} = G_{i} / H\)를 떠올려보자. (엄밀하지 않다)

그럼 Lang3에 의해 \( (G_{i}/H) / (G_{i+1}/H) \approx G_{i}/G_{i+1}\)이므로 abelian property는 보존된다.

저 \(G_{i}/H\)같은 애가 '잘 정의되기만' 하면 만족스러울 것 같다. 아직 \(H \unlhd G_{i}\)는 보장되지 않았다.

그래서 \(L_{i} = HG_{i} / H\)를 생각해본다. 이러면 이 tower의 마지막 항 \(L_{m} = H\{1\} / H = \{1\}\)니까 느낌이 좋다!

이제 \(HG_{i}/HG_{i+1} \approx G_{i}/G_{i+1}\)만 보이면 된다. \(G_{i} \le N_{H} = G\)이기 때문에,

\(x \in G_{i}\)에 대해 \(f(xG_{i+1}) = xHG_{i+1}\)인 \(f\)를 잡으면 이 \(f\)는 bijection이다. 끝.

여담이지만 Lang4에 의해 \(HG_{i} / H \approx G_{i} / (G_{i} \cap H)\)였다. 이걸로도 증명할 수 있나?

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Commutator Group

갑자기 이상한 교환자군(?)이 튀어나오는데, solvability problem과 관련된 굉장히 강력한 툴이다.

Group \(G\)의 원소 \(x,y\)에 대해 \(xyx^{-1}y^{-1}\)을 \(x,y\)의 commutator라고 정의한다.

우리가 알고 있는 그 \([x,y]\)는 Ring에 가야 나올 것 같다. 지금 포스팅에서만 \([x,y] = xyx^{-1}y^{-1}\)로 쓰자.

어쨌든, 모든 commutator들에 의해 생성되는 group을 \(G\)의 commutator group \(G^{c}\)라고 한다. 여집합 노테이션과 굳이 헷갈리게 쓰는 랭은 변태가 틀림없다.

\(G^{c}\)는 무려 \(G\)의 normal subgroup이다. 증명이 쉽다면 쉽고 어렵다면 어려운데, 어쨌든 한줄이다.

$$ a[x,y]a^{-1} = axyx^{-1}y^{-1}a^{-1} = (ax)y(ax)^{-1}y^{-1}yay^{-1}a^{-1} = [ax,y][y,a] $$

 

그리고 \(G/G^{c}\)는 자명히 abelian이다. x가 속한 \(G^{c}\)의 coset을 \(\bar{x}\)라고 하면, 모든 \(x,y\)에 대해 \(\bar{x}\bar{y}\bar{x}^{-1}\bar{y}^{-1} = \bar{1}\)이기 때문이다.

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Simple Group

\(G \neq \{1\}\)에 대해서, \(G\)가 \(\{1\},G\) 이외에 정규부분군을 갖지 않을 때 \(G\)를 simple group이라고 한다.

따라서 Simple group에 대해서는 solvability와 commutativity (is_abelian)이 동치이다. 매우 중요한 성질같다!

하지만 더 이상의 discussion이 나오지는 않는다. 여기까지!