Normal subgroup 이야기 (1)

Lang에게 열심히 고통받고 있다.

앞으로도 이해가 안 가는 내용을 부정기적으로 끄적거리려고 한다.

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Note. 여기서는 Lang만 쓰는 것 같은 Group - wise 곱셈 notation을 차용한다.

즉, \(aG = \left\{ ag : g \in G\right\}, Ga = \left\{ ga : g \in G\right\}\)이고, \(GH = \left\{ gh : g \in G, h \in H \right\}\)이다.

이것들을 굉장히 암시적으로, 또 빈번히 써먹을 예정이다. 

따라서 계산 하나하나가 그다지 자명하지 않으니 잘 따라와주시길.

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Motivation: Kernel Group

Normal subgroup의 아이디어는 Group homomorphism의 Kernel에서 시작한다.

Group homomorphism \(f : G \to G'\)에 대해, \(\ker (f) = H\)라고 하자.

그럼 \(H\)는 일단 group임이 자명한데, 얘가 조금 특별한 성질을 가진 group인거다.

그 특별함이란 것은, 모든 \(x \in G\)에 대해서 \(xHx^{-1} = H\)가 성립한다는 것이다.

증명은 굉장히 쉽다. \(f(xHx^{-1}) = f(x) f(H) f(x)^{-1} = f(x)1_{G'}f(x)^{-1} = 1_{G'}\)이니까.

abelian과는 다르단 점을 짚고 넘어가자. 반드시 element-wise하게 \(xhx^{-1} = h\)일 필요는 없는 것이다.

어쨌든 이런 \(H\)를 잡고 나니 너무 편한 거다. 그래서 이런 애들을 몽땅 모아서 연구하기로 했다.

모든 \(x \in G\)에 대해 \(xHx^{-1} = H\)인 \(H\)를 두고 \(H\)는 \(G\)의 normal subgroup이라고 한다. 노테이션은 \(H \unlhd G\).

Cf. Normal subgroup을 판별할 때, 반드시 \(xHx^{-1} = H\)를 보일 필요 없이 \(xHx^{-1} \subset H\)만을 보여도 충분하다. 

\(x\)를 \(x^{-1}\)로 바꾸면 입장이 역전되기 때문.

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Factor Group

\(H \unlhd G\)라고 두자.

Normal subgroup이 흥미로운 점은, \(H\)들의 Coset들의 Set도 똑같은 연산 구조의 군으로 만들 수 있다는 것이다!

\(g_{1}H g_{2}H = g_{1}(Hg_{2})H = g_{1}g_{2}HH = g_{1}g_{2}H\)가 성립한다는 사실로부터 모든 것을 알 수 있다.

항등원은 \(H\), \(xH\)의 역원은 \(x^{-1}H\)이다.

그래서 이렇게 \(H\)의 Coset들로 구성된 group을 Factor group이라고 부르고, \(G/H\)로 표기한다.

\(x, y \in G\)가 서로 같은 coset에 속할 때, \(x \equiv y \ (\mod H \ )\)라고도 쓴단다.

Factor group의 가장 친숙한 예시는 \(n\)에 대한 완전잉여계 \(\mathbb{Z}_{n}\)이다. 얘의 다른 이름은 \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\)이다.

Remark. \(i \in I\)에 대해 \(H_{i} \unlhd G\)이면, \(\bigcap_{i} H_{i} \unlhd G\)이다.

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Normalizer

당연히 모든 Subgroup \(H \le G\)가 normal subgroup은 아니다. 하지만 수학자들이 이토록 달달한 성질을 그냥 놔줄리가 없다. 그래서 \(H\)를 Normal group으로 만드는 집합을 또 정의한다.

\(H\)의 Normalizer \(N_{H} := \left\{ x : xHx^{-1} = H\right\}\)

\(H\)의 Centralizer \(Z_{H} := \left\{ x : \forall y \in H \ xyx^{-1} = y \right\}\)

Normalizer와 Centralizer는 둘 다 Group임을 확인하자. Centralizer가 조금 더 강한 친구인데 지금은 다루지 않겠다.

\(N_{H}\)의 property를 몇 개 나열하고 마치겠다.

(1) \(H \unlhd K\)이면, \(K \le N_{H}\)이다. 

- 얘는 너무 자명하다. 다만, 이 사실은 \(N_{H}\)는 \(H \unlhd X\)인 \(X\)중 maximal인 놈이라는 사실을 말해준다.

(2) \(K \le N_{H}\)이면 \(HK\)역시 group이고, \(H \unlhd HK\)이다. (cf : \(K \le N_{H}\)이므로 \(HK = KH\)!)

- \(HK\)가 group인 건 그냥 해보시라. 임의의 원소를 \(hk\)꼴로 놓을 수 있다.

- \(H \le HK\)도 원소를 잡으면 간단하게 나온다. \(hH = H\)임을 기억하자.