Normal Subgroup 이야기 (4) - Butterfly Lemma (Zassenhaus Lemma)

느그 나비의 차례!

*이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.

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Butterfly Lemma (Zassenhaus)

그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?

이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.

이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다.

Lemma. (Zassenhaus)

$U' \unlhd U$, $V' \unlhd V$라고 하자. 이 때

$U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)$ && $(U' \cap V)V' \unlhd (U \cap V)V'$가 성립하며,

두 factor group은 isomorphic하다; 다음이 성립한다.

$$\frac{U'(U \cap V)}{U'(U \cap V')} \approx \frac{(U \cap V)V'}{(U' \cap V)V'} \approx \frac{U \cap V}{(U' \cap V)(U \cap V')}$$

맨 뒤 항만 symmetric하다. 대칭성에 의해서, 우리는 $\frac{U'(U \cap V)}{U'(U \cap V')} \approx \frac{U \cap V}{(U' \cap V)(U \cap V')}$만 보인다.

Normality를 먼저 다 보이고 가야 할 것 같은데, 증명이 엄청 신기하다. 우선 필요한 Normality를 하나만 보인다.

Step 1. $(U'\cap V)(U\cap V') \unlhd U \cap V$ 

$(U' \cap V) \unlhd U \cap V$가 자명하고, $(U \cap V') \unlhd U \cap V$도 자명하다.

두 normal subgroup을 곱해서 나온 group 또한 normal subgroup이니 자명.

$X := (U' \cap V)(U \cap V')$로 두자.

Step 2. $U'(U \cap V)/U'(U \cap V') \approx (U \cap V) / X$

임의의 homomorphism $f : G \to G'$에 대해서, $\ker (f) \unlhd G$임을 이용해서 isomorphicity랑 $U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)$를 한번에 보여버릴 거다.

$f : U'(U \cap V) \to (U \cap V)/X$를 $f(u't) = tX$로 두자. $(u' \in U', t \in U \cap V)$

2-1. $f$는 well-defined이다.

$u't_{1} = u''t_{2}$라고 하면 $(u'')^{-1}u' = t_{2}t_{1}^{-1}$이므로 $t_{2}t_{1}^{-1} \in U' \cap (U \cap V) = (U' \cap V) \subset X$이기 때문에 $f(u't_{1}) = f(u''t_{2})$이기 때문.

2-2. $f$는 homomorphism이다; $f(u't_{1})f(u''t_{2}) = t_{1}t_{2}X$인데, ($u',u'' \in U'$)

$\color{red}{U' \unlhd U}$이므로 $u't_{1} \cdot u''t_{2} = u'\color{red}{t_{1}u''t_{1}^{-1}} t_{1}t_{2} = u' \color{red}{u'''} t_{1}t_{2} \in U' (U \cap V)$이다. 이 부분이 가장 tricky하다.

2-3. $f$는 surjective하다. $u' = 1$~~

2-4. $\ker (f) = U'(U \cap V')$이다. $f(u^{*}t) = X$이면 $t \in X=(U'\cap V)(U\cap V')$가 성립해야 하는데, 이에 따라 $t = u't'$으로 쓸 수 있어야 한다. ($u' \in U' \cap V, t' \in U \cap V'$)

따라서 $u^{*}u't' \in U'(U \cap V')$가 성립해야 하기 때문에 성립.

끝!