느그 나비의 차례!
*이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.
Butterfly Lemma (Zassenhaus)
그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?
이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.
이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다.
Lemma. (Zassenhaus)
U′⊴U, V′⊴V라고 하자. 이 때
U′(U∩V′)⊴U′(U∩V) && (U′∩V)V′⊴(U∩V)V′가 성립하며,
두 factor group은 isomorphic하다; 다음이 성립한다.
U′(U∩V′)U′(U∩V)≈(U′∩V)V′(U∩V)V′≈(U′∩V)(U∩V′)U∩V
맨 뒤 항만 symmetric하다. 대칭성에 의해서, 우리는 U′(U∩V′)U′(U∩V)≈(U′∩V)(U∩V′)U∩V만 보인다.
Normality를 먼저 다 보이고 가야 할 것 같은데, 증명이 엄청 신기하다. 우선 필요한 Normality를 하나만 보인다.
Step 1. (U′∩V)(U∩V′)⊴U∩V
(U′∩V)⊴U∩V가 자명하고, (U∩V′)⊴U∩V도 자명하다.
두 normal subgroup을 곱해서 나온 group 또한 normal subgroup이니 자명.
X:=(U′∩V)(U∩V′)로 두자.
Step 2. U′(U∩V)/U′(U∩V′)≈(U∩V)/X
임의의 homomorphism f:G→G′에 대해서, ker(f)⊴G임을 이용해서 isomorphicity랑 U′(U∩V′)⊴U′(U∩V)를 한번에 보여버릴 거다.
f:U′(U∩V)→(U∩V)/X를 f(u′t)=tX로 두자. (u′∈U′,t∈U∩V)
2-1. f는 well-defined이다.
u′t1=u′′t2라고 하면 (u′′)−1u′=t2t1−1이므로 t2t1−1∈U′∩(U∩V)=(U′∩V)⊂X이기 때문에 f(u′t1)=f(u′′t2)이기 때문.
2-2. f는 homomorphism이다; f(u′t1)f(u′′t2)=t1t2X인데, (u′,u′′∈U′)
U′⊴U이므로 u′t1⋅u′′t2=u′t1u′′t1−1t1t2=u′u′′′t1t2∈U′(U∩V)이다. 이 부분이 가장 tricky하다.
2-3. f는 surjective하다. u′=1~~
2-4. ker(f)=U′(U∩V′)이다. f(u∗t)=X이면 t∈X=(U′∩V)(U∩V′)가 성립해야 하는데, 이에 따라 t=u′t′으로 쓸 수 있어야 한다. (u′∈U′∩V,t′∈U∩V′)
따라서 u∗u′t′∈U′(U∩V′)가 성립해야 하기 때문에 성립.
끝!