Normal Subgroup 이야기 (4) - Butterfly Lemma (Zassenhaus Lemma)

2019. 1. 8. 11:50수학 이론/추상대수학

느그 나비의 차례!


*이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.


Butterfly Lemma (Zassenhaus)


그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?

이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.

이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다.


Lemma. (Zassenhaus)


UUU' \unlhd U, VVV' \unlhd V라고 하자. 이 때

U(UV)U(UV)U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V) && (UV)V(UV)V(U' \cap V)V' \unlhd (U \cap V)V'가 성립하며,

두 factor group은 isomorphic하다; 다음이 성립한다.

U(UV)U(UV)(UV)V(UV)VUV(UV)(UV) \frac{U'(U \cap V)}{U'(U \cap V')} \approx \frac{(U \cap V)V'}{(U' \cap V)V'} \approx \frac{U \cap V}{(U' \cap V)(U \cap V')}


맨 뒤 항만 symmetric하다. 대칭성에 의해서, 우리는 U(UV)U(UV)UV(UV)(UV)\frac{U'(U \cap V)}{U'(U \cap V')} \approx \frac{U \cap V}{(U' \cap V)(U \cap V')}만 보인다.


Normality를 먼저 다 보이고 가야 할 것 같은데, 증명이 엄청 신기하다. 우선 필요한 Normality를 하나만 보인다.


Step 1. (UV)(UV)UV(U'\cap V)(U\cap V') \unlhd U \cap V 


(UV)UV(U' \cap V) \unlhd U \cap V가 자명하고, (UV)UV(U \cap V') \unlhd U \cap V도 자명하다.

두 normal subgroup을 곱해서 나온 group 또한 normal subgroup이니 자명.


X:=(UV)(UV)X := (U' \cap V)(U \cap V')로 두자.


Step 2. U(UV)/U(UV)(UV)/XU'(U \cap V)/U'(U \cap V') \approx (U \cap V) / X


임의의 homomorphism f:GGf : G \to G'에 대해서, ker(f)G\ker (f) \unlhd G임을 이용해서 isomorphicity랑 U(UV)U(UV)U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)를 한번에 보여버릴 거다.


f:U(UV)(UV)/Xf : U'(U \cap V) \to (U \cap V)/Xf(ut)=tXf(u't) = tX로 두자. (uU,tUV)(u' \in U', t \in U \cap V)


2-1. ff는 well-defined이다.

ut1=ut2u't_{1} = u''t_{2}라고 하면 (u)1u=t2t11(u'')^{-1}u' = t_{2}t_{1}^{-1}이므로 t2t11U(UV)=(UV)Xt_{2}t_{1}^{-1} \in U' \cap (U \cap V) = (U' \cap V) \subset X이기 때문에 f(ut1)=f(ut2)f(u't_{1}) = f(u''t_{2})이기 때문.


2-2. ff는 homomorphism이다; f(ut1)f(ut2)=t1t2Xf(u't_{1})f(u''t_{2}) = t_{1}t_{2}X인데, (u,uUu',u'' \in U')


UU\color{red}{U' \unlhd U}이므로 ut1ut2=ut1ut11t1t2=uut1t2U(UV)u't_{1} \cdot u''t_{2} = u'\color{red}{t_{1}u''t_{1}^{-1}} t_{1}t_{2} = u' \color{red}{u'''} t_{1}t_{2} \in U' (U \cap V)이다. 이 부분이 가장 tricky하다.


2-3. ff는 surjective하다. u=1u' = 1~~


2-4. ker(f)=U(UV)\ker (f) = U'(U \cap V')이다. f(ut)=Xf(u^{*}t) = X이면 tX=(UV)(UV)t \in X=(U'\cap V)(U\cap V')가 성립해야 하는데, 이에 따라 t=utt = u't'으로 쓸 수 있어야 한다. (uUV,tUVu' \in U' \cap V, t' \in U \cap V')

따라서 uutU(UV)u^{*}u't' \in U'(U \cap V')가 성립해야 하기 때문에 성립.


끝!