Group Action 이야기 (1)

Cyclic group은 쉽고 또 뭐가 없는 관계로 스킵.

Group Action은 쉬운데 뭐가 많다... 나중에 문제 풀 때 고통받을 것 같다.

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Group operation (Group Action)

집합 \(S\) 위로의 Group \(G\)의 작용(Action of \(G\) on \(S\))는 다음의 homomorphism \(\pi : G \to \text{Perm}(S)\)를 의미한다. 여기서 작용당하는 \(S\)는 G-set이라고 부른다.

하지만 저 \(\pi\)는 두 번 다시 등장하지 않는다. 랭형이 \(\pi_{x} \in \text{Perm}(S)\)를 \(s \mapsto xs\)라는 짱짱 강한 multiplicative notation으로 퉁쳐버렸기 때문이다. \(x(ys) = (xy)s, es = s\)가 잘 성립한다.

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Conjugation

저렇게 정성스럽게 일반화를 시켜놓고, 정작 대부분 상황에서 \(S = G\)다. 즉 \(G\)를 \(G\) 자신 위에 작용시킨다.

가장 대표적이고, 또 빈번히 쓰이는 예시는 conjugation으로 \((x,y) \in G^{2}\)에 대해 \(c_{x}(y) = xyx^{-1}\)이다.

하지만 우리의 랭형은 \(c\)라는 저 작위적인 표기를 가만히 보지 못하고, \(xyx^{-1} =: {}^{x}y\)라는 끔찍하고 무시무시한 exponent - notation을 써버리고 만다.

\(^{x}(^{z}y) = {}^{(xz)}y\)래... 뭐 알겠습니다.

저런 괴악한 표기를 고안했다는 건 그만큼 많이 쓰인단 뜻이다! 얘랑 관계된 이름이 많다.

우선 \(x \mapsto c_{x}\)의 homomorphism이 있을 텐데, 이 kernel의 원소는 모든 \(x\in G\)에 대해 \(xyx^{-1} = y\)를 만족한다. 이 정의는 많이 봤다; 바로 \(G\)의 center \(Z(G)\)이다.

그리고 \(xGx^{-1} = G\)인 놈들, 즉 \(c_{x}\)중에서 automorphism인 놈들로 만든 subgroup을 inner라고 하고, \(\text{Inn}(G)\)로 쓴다.

또 \(A, B \le G\)에 대해 \(xAx^{-1} = B\)인 \(x\)가 존재할 때, \(A\)와 \(B\)는 서로 conjugate (\(A\) conjugates with \(B\))한다고 한다.

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Translation

Translation \(T_{x}(y)\)는 \(xy\)이다. 그동안 잡아왔던 함수들과는 다르게 translation은 group homomorphism이 아니다. 임의의 \(H \le G\)에 대해 \(H\)의 left coset들의 set, 즉 \(G/H\)는 translation에 대한 G - set이다.

여담이지만 랭형은 right coset들의 set을 \(H\backslash G\)로 쓰신다. ㄹㅇ;;

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G - map

G - set이 있으니 G - map도 있어야 한다! 랭형에게 적응했다면 이 정도는 눈치챘을 것이다.

G - map은 별 게 아니고, 작용의 구조를 보존하는 morphism이다. set - homomorphism?

엄밀한 정의는 이러하다.

두 G - set \(S, S'\)에 대해 G - map \(f : S \to S'\)는 다음을 만족한다 : 

모든 \(x \in G\), \(s \in S\)에 대해 \(f(xs) = xf(s)\).

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일단 여기까지.