Normal Subgroup 이야기 (5) Schreier thm, Jordan - Hölder thm (完)

Lang에 적혀 있는 normal subgroup (Section 1.3)은 이게 마지막이다.

Feit - Thompson같은 건 나중에 추가될지도 모르지만 굳이 이 단원에...?

여담으로, 전 포스팅에서 쓸모없을 것 같다고 했던 butterfly lemma가 바로 여기 나온다. 죄송합니다 나비님...

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Equivalent Towers

Group \(G\)의 두 Tower를 생각해보자. abelian일 필요는 없지만, 끝은 반드시 trivial group이어야 한다.

$$ G = H_{0} \triangleright H_{1} \triangleright \cdots \triangleright H_{r} = \{1\}  \\ G = K_{0} \triangleright K_{1} \triangleright \cdots \triangleright K_{s} = \{1\}$$

두 Tower가 equivalent하다는 것은, \(r = s\)와 더불어 적당한 index의 permutation \(i \mapsto f(i)\)이 존재해서,

모든 \(i = 1..r-1\)에 대해 \(G_{i}/G_{i+1} \approx H_{f(i)}/H_{f(i)+1}\)이 존재한다는 것이다.

즉, factor group의 sequence가 up to isomorphism / up to idx permutation identical하다는 것.

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Theorem. (Schreier)

\(G\)의 두 tower \(\{H_{i}\}\)와 \(\{K_{j}\}\)가 모두 trivial group으로 끝난다고 하자.

이 때 \(\{H_{i}\}\)와 \(\{K_{j}\}\) 사이에 equivalent refinement가 존재한다.

Proof.

\(\{H_{i}\}\)의 길이를 \(h\), \(\{K_{j}\}\)의 길이를 \(k\)라고 쓰자.

자세히 쓸 힘이 없어서 키워드만 짚고 끝내기로 한다. 굳이 다 써서 좋을 것도 없고..

\(H_{ij} = H_{i+1} (K_{j} \cap H_{i})\)

\(K_{ji} = K_{j+1} (H_{i} \cap K_{j})\)

이 때 \(H_{ij}/H_{i,j+1} \approx K_{ji}/K_{j,i+1}\)이 성립한다. by Zassenhaus Lemma!

끝.

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Theorem. (Jordan - Hölder)

\(G\)의 normal tower \(\{H_{i}\}\)가 simple tower일 때, (모든 \(H_{i} / H_{i+1}\)가 simple group)

다른 모든 simple tower는 \(\{H_{i}\}\)와 equivalent하다.

cf) Simple group을 '소수' 정도로 생각하면, Jordan Holder theorem은 '소인수분해의 일의성' 정도가 되겠다.

Proof.

Schreier's theorem에서와 같이 \(H_{ij}\)를 정의하면, \(H_{i}/H_{i+1}\)이 simple이기 때문에 모든 \(i\)에 대해서\(H_{i} / H_{i+1} \approx H_{ij} / H_{i,j+1}\)인 \(j\)가 유일하게 존재한다. (나머지는 전부 factor group이 \(\{1\}\)이 나온다)

따라서 임의의 equivalent refinement에 대해서 nontrivial한 group의 sequence들은 모두 같고, (up to perm)

그 대응을 un-refined sequence로 그대로 끌고 오면 equivalency를 증명할 수 있다.

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끝!