Normal Subgroup 이야기 (4) - Butterfly Lemma (Zassenhaus Lemma)

느그 나비의 차례!

*이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.

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Butterfly Lemma (Zassenhaus)

그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?

이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.

이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다.

Lemma. (Zassenhaus)

\(U' \unlhd U\), \(V' \unlhd V\)라고 하자. 이 때

\(U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)\) && \((U' \cap V)V' \unlhd (U \cap V)V'\)가 성립하며,

두 factor group은 isomorphic하다; 다음이 성립한다.

$$ \frac{U'(U \cap V)}{U'(U \cap V')} \approx \frac{(U \cap V)V'}{(U' \cap V)V'} \approx \frac{U \cap V}{(U' \cap V)(U \cap V')}$$

맨 뒤 항만 symmetric하다. 대칭성에 의해서, 우리는 \(\frac{U'(U \cap V)}{U'(U \cap V')} \approx \frac{U \cap V}{(U' \cap V)(U \cap V')}\)만 보인다.

Normality를 먼저 다 보이고 가야 할 것 같은데, 증명이 엄청 신기하다. 우선 필요한 Normality를 하나만 보인다.

Step 1. \((U'\cap V)(U\cap V') \unlhd U \cap V\) 

\((U' \cap V) \unlhd U \cap V\)가 자명하고, \((U \cap V') \unlhd U \cap V\)도 자명하다.

두 normal subgroup을 곱해서 나온 group 또한 normal subgroup이니 자명.

\(X := (U' \cap V)(U \cap V')\)로 두자.

Step 2. \(U'(U \cap V)/U'(U \cap V') \approx (U \cap V) / X\)

임의의 homomorphism \(f : G \to G'\)에 대해서, \(\ker (f) \unlhd G\)임을 이용해서 isomorphicity랑 \(U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)\)를 한번에 보여버릴 거다.

\(f : U'(U \cap V) \to (U \cap V)/X\)를 \(f(u't) = tX\)로 두자. \((u' \in U', t \in U \cap V)\)

2-1. \(f\)는 well-defined이다.

\(u't_{1} = u''t_{2}\)라고 하면 \((u'')^{-1}u' = t_{2}t_{1}^{-1}\)이므로 \(t_{2}t_{1}^{-1} \in U' \cap (U \cap V) = (U' \cap V) \subset X\)이기 때문에 \(f(u't_{1}) = f(u''t_{2})\)이기 때문.

2-2. \(f\)는 homomorphism이다; \(f(u't_{1})f(u''t_{2}) = t_{1}t_{2}X\)인데, (\(u',u'' \in U'\))

\(\color{red}{U' \unlhd U}\)이므로 \(u't_{1} \cdot u''t_{2} = u'\color{red}{t_{1}u''t_{1}^{-1}} t_{1}t_{2} = u' \color{red}{u'''} t_{1}t_{2} \in U' (U \cap V)\)이다. 이 부분이 가장 tricky하다.

2-3. \(f\)는 surjective하다. \(u' = 1\)~~

2-4. \(\ker (f) = U'(U \cap V')\)이다. \(f(u^{*}t) = X\)이면 \(t \in X=(U'\cap V)(U\cap V')\)가 성립해야 하는데, 이에 따라 \(t = u't'\)으로 쓸 수 있어야 한다. (\(u' \in U' \cap V, t' \in U \cap V'\))

따라서 \(u^{*}u't' \in U'(U \cap V')\)가 성립해야 하기 때문에 성립.

끝!