Group Action 이야기 (2) - Isotropy group & Orbit

1편에서는 기본적인 용어 정의를 조금 했다. 분위기를 환기해서 또 다른 정의를 여러 개 하고(...) 재밌는 이야기로 넘어가는 게 목표.

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Isotropy Group

$G$가 $S$에 작용한다고 하자.

$s$의 $G$에 대한 isotropy group이란, $xs = s$를 만족하는 $x$들의 모임을 말한다. 표기는 $G_{s}$.

만약 $G$가 $G$ 위에 conjugation으로 작용한다고 하면, 어떤 원소의 isotropy group은 그 원소의 normalizer와 같다.

operation의 kernel을 생각해보자. 모든 $s$에 대해서 $xs  = s$를 만족하는 $x \in G$를 말하는 거다. 잘 생각해보면 kernel $K$는 모든 isotropy group의 교집합이다. 

$$K = \bigcap_{s \in S} G_{s}$$

$K = \{1 \}$인 operation을 faithful operation이라고 한다.

또, 모든 $x$에 대해서 $x s= s$인 $s$를 fixed point라고 한다. 다른 말로는 $G = G_{s}$인 $s$가 fixed point다.

이제 Isotropy group과 짝지어서 생각할 수 있는 개념으로 가보자.

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Orbit

어떤 원소 $s$의 $G$에 대한 orbit $Gs$는 모든 $x \in G$에 대해 $xs$의 값을 모아놓은 값을 의미한다.

사실상 coset이랑 다를 바가 없고, operation이 $G$ 위로 작용하는 translation이면 진짜 coset이다.

isotropy group과의 연관성은 꽤 명확하다. $G_{s}$의 coset 안에 있는 두 원소는 $xs = ys$를 만족하고, 그 반대도 성립하기 때문에, $f : G/G_{s} \to S$를 잡아서 $f(xG_{s}) = xs$가 되게 하면 이 $f$는 G-map이 되고, 여기서 치역은 $Gs$이므로 $\tilde{f} : G/G_{s} \to Gs$는 bijection이 된다.

Lagrange's theorem에 의해서 $|Gs|$는 $|G|$의 약수고, 당연히 $|Gs| = (G:G_{s})$다.

조금 더 구체적으로, operation을 conjugation으로 바꾸면

어떤 $H \le G$에 대해서 $H$와 conjugate한 group의 개수는 $N_{H}$의 index와 같다는 결론을 얻을 수 있다. $N_{H}$가 바로 conjugation에 대한 $H$의 isotropy group이고, conjugate한 group의 개수는 orbit의 크기와 같기 때문.

다음의 예제를 풀어보자 : $(G:H) = 2$인 $H \le G$에 대해, $N_{H} = G$임을 보여라.

pf. 당연히 $H \le N_{H}$이기 때문에, $(G:N_{H}) = 1$ 또는 $(G:N_{H}) = 2$여야 한다.

$(G:N_{H}) = 1$이라면 $G = N_{H}$가 되어 증명종료. 이제 $(G:N_{H}) \neq 2$를 보이자.

만약 $(G:N_{H}) = 2$라면 $H = N_{H}$가 된다. $G$의 subgroup들의 set에 $G$를 conjugation으로 작용시키자. 이 때 $H$의 orbit 크기는 2이다. 이 orbit에 $G$를 conjugation으로 한번 더 작용시키면 이는 $G$에서 $Perm(S_{2})$로 가는 homomorphism이 되고, 이 kernel은 $H = N_{H}$이다. 그런데 항상 group homomorphism의 kernel은 normal subgroup이므로 $H = N_{H}$에 모순.

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Orbit decomposition formula

Orbit은 Coset과 사실상 다를 바가 없다고 이야기했었다. 어떤 subgroup의 coset들이 원래 group을 분할하듯, 어떤 원소의 orbit도 G - set을 분할한다. 만약 $Gs_{1}$과 $Gs_{2}$의 공통 원소가 존재한다면 $s_{2} = xs_{1}$인 $x \in G$가 존재하고 따라서 $Gs_{2} = Gxs_{1} = Gs_{1}$이 된다. Obvious!

$$\therefore S = \bigsqcup_{i} Gs_{i}$$

따라서 $|S| = \sum_{i} |Gs_{i}| = \sum_{i} (G:G_{s_{i}})$가 성립한다. $s_{i}$는 각 orbit의 대표원. 이를 orbit decomposition formula라고 한다.

우리가 좋아하는 conjugation에 대해 이 결과를 적용시켜보자.

어떤 $x \in G$에 conjugation을 적용시켰을 때 orbit에 해당되는 개념을 conjugacy class라고 한다.

똑같이, conjugacy class들은 원래의 group $G$를 분할한다. orbit decomposition formula는 다음과 같이 변화하고, 이를 class formula라고 부른다.

$$(G : 1) = \sum_{x \in C} (G : G_{x})$$

$C$는 똑같이 각 conjugacy class의 대표원이다.

다음 포스팅에서 symmetric group에 대해서 설명하면 group action이 얼추 마무리된다.