Group Action 이야기 (2) - Isotropy group & Orbit

1편에서는 기본적인 용어 정의를 조금 했다. 분위기를 환기해서 또 다른 정의를 여러 개 하고(...) 재밌는 이야기로 넘어가는 게 목표.

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Isotropy Group

\(G\)가 \(S\)에 작용한다고 하자.

\(s\)의 \(G\)에 대한 isotropy group이란, \(xs = s\)를 만족하는 \(x\)들의 모임을 말한다. 표기는 \(G_{s}\).

만약 \(G\)가 \(G\) 위에 conjugation으로 작용한다고 하면, 어떤 원소의 isotropy group은 그 원소의 normalizer와 같다.

operation의 kernel을 생각해보자. 모든 \(s\)에 대해서 \(xs  = s\)를 만족하는 \(x \in G\)를 말하는 거다. 잘 생각해보면 kernel \(K\)는 모든 isotropy group의 교집합이다. 

$$ K = \bigcap_{s \in S} G_{s} $$

\(K = \{1 \}\)인 operation을 faithful operation이라고 한다.

또, 모든 \(x\)에 대해서 \(x s= s\)인 \(s\)를 fixed point라고 한다. 다른 말로는 \(G = G_{s}\)인 \(s\)가 fixed point다.

이제 Isotropy group과 짝지어서 생각할 수 있는 개념으로 가보자.

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Orbit

어떤 원소 \(s\)의 \(G\)에 대한 orbit \(Gs\)는 모든 \(x \in G\)에 대해 \(xs\)의 값을 모아놓은 값을 의미한다.

사실상 coset이랑 다를 바가 없고, operation이 \(G\) 위로 작용하는 translation이면 진짜 coset이다.

isotropy group과의 연관성은 꽤 명확하다. \(G_{s}\)의 coset 안에 있는 두 원소는 \(xs = ys\)를 만족하고, 그 반대도 성립하기 때문에, \(f : G/G_{s} \to S\)를 잡아서 \(f(xG_{s}) = xs\)가 되게 하면 이 \(f\)는 G-map이 되고, 여기서 치역은 \(Gs\)이므로 \(\tilde{f} : G/G_{s} \to Gs\)는 bijection이 된다.

Lagrange's theorem에 의해서 \(|Gs|\)는 \(|G|\)의 약수고, 당연히 \(|Gs| = (G:G_{s})\)다.

조금 더 구체적으로, operation을 conjugation으로 바꾸면

어떤 \(H \le G\)에 대해서 \(H\)와 conjugate한 group의 개수는 \(N_{H}\)의 index와 같다는 결론을 얻을 수 있다. \(N_{H}\)가 바로 conjugation에 대한 \(H\)의 isotropy group이고, conjugate한 group의 개수는 orbit의 크기와 같기 때문.

다음의 예제를 풀어보자 : \((G:H) = 2\)인 \(H \le G\)에 대해, \(N_{H} = G\)임을 보여라.

pf. 당연히 \(H \le N_{H}\)이기 때문에, \((G:N_{H}) = 1\) 또는 \((G:N_{H}) = 2\)여야 한다.

\((G:N_{H}) = 1\)이라면 \(G = N_{H}\)가 되어 증명종료. 이제 \((G:N_{H}) \neq 2\)를 보이자.

만약 \((G:N_{H}) = 2\)라면 \(H = N_{H}\)가 된다. \(G\)의 subgroup들의 set에 \(G\)를 conjugation으로 작용시키자. 이 때 \(H\)의 orbit 크기는 2이다. 이 orbit에 \(G\)를 conjugation으로 한번 더 작용시키면 이는 \(G\)에서 \(Perm(S_{2})\)로 가는 homomorphism이 되고, 이 kernel은 \(H = N_{H}\)이다. 그런데 항상 group homomorphism의 kernel은 normal subgroup이므로 \(H = N_{H}\)에 모순.

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Orbit decomposition formula

Orbit은 Coset과 사실상 다를 바가 없다고 이야기했었다. 어떤 subgroup의 coset들이 원래 group을 분할하듯, 어떤 원소의 orbit도 G - set을 분할한다. 만약 \(Gs_{1}\)과 \(Gs_{2}\)의 공통 원소가 존재한다면 \(s_{2} = xs_{1}\)인 \(x \in G\)가 존재하고 따라서 \(Gs_{2} = Gxs_{1} = Gs_{1}\)이 된다. Obvious!

$$ \therefore S = \bigsqcup_{i} Gs_{i} $$

따라서 \(|S| = \sum_{i} |Gs_{i}| = \sum_{i} (G:G_{s_{i}})\)가 성립한다. \(s_{i}\)는 각 orbit의 대표원. 이를 orbit decomposition formula라고 한다.

우리가 좋아하는 conjugation에 대해 이 결과를 적용시켜보자.

어떤 \(x \in G\)에 conjugation을 적용시켰을 때 orbit에 해당되는 개념을 conjugacy class라고 한다.

똑같이, conjugacy class들은 원래의 group \(G\)를 분할한다. orbit decomposition formula는 다음과 같이 변화하고, 이를 class formula라고 부른다.

$$ (G : 1) = \sum_{x \in C} (G : G_{x}) $$

\(C\)는 똑같이 각 conjugacy class의 대표원이다.

다음 포스팅에서 symmetric group에 대해서 설명하면 group action이 얼추 마무리된다.