Group Action 이야기 (3) - The symmetric Group

Symmetric group은 이제껏 나온 group theory의 응용 중에서 가장 복잡하고 재미있는 주제이다. 흥미로운 lemma와 결과들이 많으니 집중해보자.

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Symmetric group

Symmetric group \(S_{n}\)은 \(n\)개 원소들의 permutation의 집합이다.

당연히 \(|S_{n}| = n!\)이고, 항등원은 \(\iota\)라고 쓴다.

\(S_{n}\)은 \([n]\)에 translation으로 작용할 수 있고, 그 때 어떤 \(i \in [n]\)의 orbit을 cycle이라고 한다. cycle은 \([i_{1}i_{2}\cdots i_{r}]\)로 쓰고, 이는 \(\sigma(i_{1}) = i_{2}, \sigma(i_{2}) = i_{3}, \cdots \sigma(i_{r}) = i_{1}\)이라는 뜻이다.

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Associating a sign to each permutation

이제 우리가 잘 아는 개념인 '홀순열'과 '짝순열'을 만들어 보자.

어떤 함수 \(f : \mathbb{Z}^{n} \to \mathbb{Z}\)을 생각하되, 어떤 \(\sigma \in S_{n}\)을 \(f\)에 작용시킨 결과를 다음과 같이 생각한다.

$$ \sigma (f(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})) = f(x_{\sigma (1)}, x_{\sigma (2)}, \cdots x_{\sigma (n)}) $$

\(\sigma(\tau (f)) = (\sigma \tau) (f)\)고, 항등원도 있다. \(S_{n}\)의 작용이라고 봐도 좋다. 괄호도 귀찮으니 \(\sigma f\)라고 쓰자.

이 때 Discriminant \(\Delta\)를 \(\Delta (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) = \prod_{i < j}(x_{i} - x_{j})\)로 정의하자.

그럼 임의의 transposition(두 원소를 바꾸는 permutation) \(\tau\)에 대해서, \(\tau \Delta = -\Delta\)가 성립한다. 아싸!

\(\varepsilon : S_{n} \to \{\pm1\}\)을 \(\sigma \Delta = \varepsilon(\sigma) \Delta\)가 되도록 정의하면, \(\varepsilon\)은 homomorphism이다. 부호 부여 성공!

만약 \(\sigma = \tau_{1}\tau_{2} \cdots \tau_{m}\)으로 표현할 수 있다면 특별히 \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^{m}\)으로 나타낼 수 있다. \(m\)이 짝수인 경우 \(\varepsilon(\sigma) = 1\)이므로 \(\varepsilon(\sigma) = 1\)인 순열들을 짝순열(even), \(\varepsilon(\sigma) = -1\)인 순열들을 홀순열(odd)이라고 한다.

짝순열들만 모아놓은 집합은 군을 이룬다. 이 그룹을 alternating group \(A_{n}\)이라고 쓴다.

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Unsolvability of \(S_{n}\) (\(n \ge 5\))

왠지 오차방정식은 풀 수 없다!의 떡밥이라는 킹리적 갓심이 들지만, 아직까지 직접적으로는 언급되지 않은 듯하다. 전혀 다른 것 같기도 하고... 그래도 이건 이거대로 재밌으니 들어가보자. 3 - cycle을 지지고 볶아서 증명을 만들어낸다.

Theorem. \(n \ge 5\)에 대해서 \(S_{n}\)은 solvable하지 않다.

Lemma. \(N \unlhd H \subset S_{n}\)에 대해, \(H/N\)이 abelian이고 \(H\)가 모든 3 - cycle \([ijk]\)를 포함한다고 하자. 그렇다면 \(N\)도 모든 3 - cycle을 포함해야 한다.

cf) 본 정리와 전혀 관련이 없어 보이는 Lemma가 등장했다! 

Lemma를 이용하여 본 정리를 증명하는 방법을 미리 간단히 언급하도록 하자.

귀류법으로 \(S_{n}\)의 abelian tower를 가정한다.

Lemma에 의해 \(S_{n}\)의 tower를 구성하는 모든 부분군들은 모든 3 - cycle을 포함해야 한다.

하지만 trivial group \(\{\iota\}\)은 3-cycle을 포함하지 않으므로 모순.

Proof of Lemma.

\([n]\)의 서로 다른 5가지 원소 \(i,j,k,r,s\)를 가정하자. \(\sigma = [ijk], \tau = [krs]\)로 잡으면 순전히 계산으로 다음을 알 수 있다.

$$\sigma \tau \sigma^{-1} \tau^{-1} = [rki]$$

\(H/N\)은 abelian이므로 \([\sigma,\tau] = \sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1}\)은 \(\iota\)와 같은 coset에 있어야 하고, 따라서 \([rki] = [\sigma,\tau] \in N\)이 성립한다. 그런데 \(r,k,i\)는 임의의 변수이므로 성립!

이후 과정은 cf)에 의해 성립함을 알 수 있다.

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길지도 않은 글이 너무 오래 묵고 있었다. Alternating group은 다음 글에서 다뤄야지.