Group Action 이야기 (4) - The Alternating Group

2019. 3. 5. 13:43수학 이론/추상대수학

원래는 symmetric group에 이어서 쓰려고 했지만...


The Alternating Group \(A_{n}\)


지난 포스트에서 \(A_{n}\)을 \(\varepsilon (\sigma) = 1\)인 group으로 정의했었다. \(\varepsilon : S_{n} \to \{ \pm 1 \}\)의 정의는 다음과 같다 :

$$ \varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma \Delta}{\Delta}; \Delta := \sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \text{ for distinct }x_{i}. $$


그런데 사실 \(\varepsilon\)은 \(n\)에 그 정의가 의존하므로, 엄밀하게는 \(\varepsilon_{n} (\sigma)\)라고 써야 맞단다. 짜증나지만 수학하는 사람들이 원래 이렇다.

하지만 사실 그럴 필요가 없었던 것이, 적당한 \(m > n\)에 대해서 \(\varepsilon_{m}(\sigma)\)가 \(S_{n}\)에서도 잘 돌아가도록 restriction을 줄 수 있기 때문이다. 그냥 단순히 \(\sigma_{m} = [\sigma, n+1, n+2, \cdots, m]\)으로 주고 \(\varepsilon_{m}\)에 집어넣으면 된다. 뒤의 \([n+1,\cdots m]\)은 \(\varepsilon\)의 값을 바꾸지 않고, 따라서 \(\varepsilon\)은 \(n\)에 따라 그 형태가 바뀌지 않는다. 나아가 \(A_{m} \cap S_{n} = A_{n}\)을 알 수 있다.



A few properties of \(A_{n}\)


(a) \(A_{n}\) is generated by 3 - cycles.


말인즉슨, \(\sigma \in A_{n} = \tau_{1}\tau_{2} \cdots \tau_{2r-1}\tau_{2r}\)이라고 하자. (\(\tau\)는 transposition)

여기서 인접한 transposition을 3-cycle로 만들 수 있다는 거다. 두 transposition의 곱 \([ij][rs]\)가


- 공통 원소를 가질 경우 : identity, 또는 3-cycle.

- 공통 원소를 갖지 않을 경우 : \([ij][rs] = [ijr][jrs]\).


transposition은 짝수개이므로 항상 남기지 않고 모두 3-cycle로 바꿀 수 있다.


(b) if \(n \ge 5\), all 3-cycles are conjugate in \(A_{n}\).


즉, 임의의 \([ijk]\)와 \([i'j'k']\)에 대해 \(\gamma \in A_{n}\)이 존재해서 \(\gamma [ijk] \gamma^{-1} = [lmn]\)을 만족한다.


임의의 cycle \([i_{1}i_{2}\cdots i_{r}]\)과 \(\gamma \in S_{n}\) 에 대해, \(\gamma [i_{1}i_{2}\cdots i_{r}] \gamma^{-1} = [\gamma(i_{1}) \gamma(i_{2}) \cdots \gamma(i_{n})]\)이 성립한다는 유용한 성질이 있다.


그래서 \(\gamma(X) = X'\)인 \(\gamma\)를 잡으면 되지만, 과연 \(\gamma\)가 even이라는 보장이 있을까?


있다. 만약 \(\gamma\)가 odd라면, \(i,j,k\)와 다른 2개의 원소 \(r,s\)를 잡아서 \(\gamma\)대신 \(\gamma[rs]\)를 쓰면 된다. \(n \ge 5\)라는 조건이 필요한 이유. \(n =3, 4\)에서 반례가 있는지는 나중에 찾아봐야겠다.



Simplicity of \(A_{n} \ (n \ge 5)\)


Theorem. \(n \ge 5\)일 때, \(A_{n}\)은 simple group이다.


아까 Lemma (b)가 매우 중요하게 작용한다.

만약 \(A_{n}\)의 non - trivial normal subgroup \(N\)이 존재한다고 가정하자. 그렇다면 다음을 보이는 것으로 충분하다:


Claim. \(N\)에 속하는 적당한 3 - cycle이 존재한다.


Claim을 보인다면 모든 \(A_{n}\)의 3 - cycle이 \(N\)에 속하게 되고, (\(\because \gamma N \gamma^{-1} = N, N\) is normal)

(a)에 의해서 \(N = A_{n}\)이 되어 모순, 즉 Theorem을 증명할 수 있게 된다.


Claim은 Theorem에 비해 훨씬 쉬워 보이지만, 이를 보이기 위해서도 쉽지 않은 idea를 내어야 한다.


Claim 2. \(N\)에 속하는 \(\text{id}\)가 아닌 permutation들 중 fixed point가 가장 많은 것을 \(\rho\)라 하자. \(rho\)는 3 - cycle이다.


\(\rho\)는 모든 \(N \subset A_{n}\)에서 잘 정의되므로 Claim을 증명하는 데 쓰일 수 있다.


\(J_{n} := \{1,2,\cdots,n\}\)을 \(\rho\)의 orbit으로 decompose하자. \(\rho \neq \text{id}\)이므로 2개 이상의 원소를 가지는 orbit이 존재한다.


Case 1. 모든 (크기가 1보다 큰) orbit의 크기가 2


\(\rho\)도 even이므로, 크기가 2인 orbit은 최소 2개 존재한다. 따라서 \(\rho = [ij][rs]\rho_{1}\)으로 나타낼 수 있다.

이 때 적당한 \(k \neq i,j,r,s\)에 대해 \(\tau = [rsk]\)를 정의한다. 그리고 새로운 순열 \(\rho' = \tau \rho \tau^{-1} \rho^{-1}\)를 정의하자. \(\rho'\)은 \(\rho\)의 conjugation과 \(rho^{-1}\)의 곱이기 때문에 \(N\)의 원소가 된다. 이 때 \(\rho'\)은 \(\rho\)보다 fixed point를 많이 가지게 되는데,


- \(\rho'\)은 \(i,j\)가 fixed이지만 \(\rho\)는 그렇지 않다. \(\rho'\)가 2개 이득.

- \(\rho'\)은 \(r,s,k\)가 unfixed이고, \(\rho\)는 \(r,s\)가 unfixed, \(k\)는 모른다. \(\rho'\)가 최대 1개 손해.

- 이외의 모든 원소에 대해, \(\rho'\)는 fixed이고 \(\rho\)는 모른다. \(\rho'\)가 손해보지 않는다.


따라서 Case 1의 경우는 성립할 수 없다.


Case 2. 크기가 3 이상인 orbit이 하나 이상 존재


\(\rho\)가 움직이는 가장 큰 orbit의 원소를 \(i,j,k,\cdots\)라고 하자. 만약 \(\rho\)가 3-cycle \([ijk]\)가 아니라면, \(\rho\)에 의해서 움직이는 원소가 적어도 2개 이상 있어야 한다.


랭형이 어렵게 써놨는데, 만약 움직이는 원소가 1개(\(r\))밖에 없다면 \(\rho = [ijkr]\)이 되는데, 이 4-cycle은 odd라서 \(A_{n}\)에 속할 수 없다. 그래서 \(r,s \neq i,j,k\)가 존재해서 \(\rho(r) \neq r, \rho(s) \neq s\)가 성립한다.


똑같이 \(\tau = [krs]\)를 잡고, \(\rho' = \tau\rho\tau^{-1}\rho^{-1}\)를 생각하면 더 많은 fixed point를 갖기 때문에 모순이 된다.


Case 1, 2의 분석을 합쳐보았을 때, \(\rho\)는 3 - cycle이 되어 원래 명제가 증명된다.


\(A_{4}\) is not simple


\(A_{n} \ (n \ge 5)\)는 simple하지만, \(A_{4}\)는 normal subgroup을 찾을 수 있다. 랭형은 이걸 연습문제로 줬는데, 스포하자면


\(F = \{\text{id},[12][34],[13][24],[14][23]\}\)은 order 4의 normal subgroup이다.

\(F\)는 4개의 자연수를 2-2 그룹으로 쪼갤 수 있는 모든 경우의 수를 열거한 것이기 때문에, 임의의 \(\sigma \in S_{4}\)에 대해,


$$ \sigma [12][34] \sigma^{-1} = \sigma [12] \sigma^{-1} \sigma [34] \sigma^{-1} = [\sigma(1) \sigma(2)][\sigma(3) \sigma(4)] \in F $$

가 성립한다. 다른 원소에 대해서도 마찬가지이고, 따라서 \(F\)는 \(A_{4}\)뿐 아니라 \(S_{4}\)의 normal subgroup이 된다.

  • 프로필사진
    rkm09592019.03.07 14:02 신고

    탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가? 탐레프 그는 신인가?

  • 프로필사진
    Starrysky2019.03.17 21:45

    커버사진 글씨체 뭐 썼어요?