Group Action 이야기 (4) - The Alternating Group

원래는 symmetric group에 이어서 쓰려고 했지만...

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The Alternating Group \(A_{n}\)

지난 포스트에서 \(A_{n}\)을 \(\varepsilon (\sigma) = 1\)인 group으로 정의했었다. \(\varepsilon : S_{n} \to \{ \pm 1 \}\)의 정의는 다음과 같다 :

$$ \varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma \Delta}{\Delta}; \Delta := \sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \text{ for distinct }x_{i}. $$

그런데 사실 \(\varepsilon\)은 \(n\)에 그 정의가 의존하므로, 엄밀하게는 \(\varepsilon_{n} (\sigma)\)라고 써야 맞단다. 짜증나지만 수학하는 사람들이 원래 이렇다.

하지만 사실 그럴 필요가 없었던 것이, 적당한 \(m > n\)에 대해서 \(\varepsilon_{m}(\sigma)\)가 \(S_{n}\)에서도 잘 돌아가도록 restriction을 줄 수 있기 때문이다. 그냥 단순히 \(\sigma_{m} = [\sigma, n+1, n+2, \cdots, m]\)으로 주고 \(\varepsilon_{m}\)에 집어넣으면 된다. 뒤의 \([n+1,\cdots m]\)은 \(\varepsilon\)의 값을 바꾸지 않고, 따라서 \(\varepsilon\)은 \(n\)에 따라 그 형태가 바뀌지 않는다. 나아가 \(A_{m} \cap S_{n} = A_{n}\)을 알 수 있다.

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A few properties of \(A_{n}\)

(a) \(A_{n}\) is generated by 3 - cycles.

말인즉슨, \(\sigma \in A_{n} = \tau_{1}\tau_{2} \cdots \tau_{2r-1}\tau_{2r}\)이라고 하자. (\(\tau\)는 transposition)

여기서 인접한 transposition을 3-cycle로 만들 수 있다는 거다. 두 transposition의 곱 \([ij][rs]\)가

- 공통 원소를 가질 경우 : identity, 또는 3-cycle.

- 공통 원소를 갖지 않을 경우 : \([ij][rs] = [ijr][jrs]\).

transposition은 짝수개이므로 항상 남기지 않고 모두 3-cycle로 바꿀 수 있다.

(b) if \(n \ge 5\), all 3-cycles are conjugate in \(A_{n}\).

즉, 임의의 \([ijk]\)와 \([i'j'k']\)에 대해 \(\gamma \in A_{n}\)이 존재해서 \(\gamma [ijk] \gamma^{-1} = [lmn]\)을 만족한다.

임의의 cycle \([i_{1}i_{2}\cdots i_{r}]\)과 \(\gamma \in S_{n}\) 에 대해, \(\gamma [i_{1}i_{2}\cdots i_{r}] \gamma^{-1} = [\gamma(i_{1}) \gamma(i_{2}) \cdots \gamma(i_{n})]\)이 성립한다는 유용한 성질이 있다.

그래서 \(\gamma(X) = X'\)인 \(\gamma\)를 잡으면 되지만, 과연 \(\gamma\)가 even이라는 보장이 있을까?

있다. 만약 \(\gamma\)가 odd라면, \(i,j,k\)와 다른 2개의 원소 \(r,s\)를 잡아서 \(\gamma\)대신 \(\gamma[rs]\)를 쓰면 된다. \(n \ge 5\)라는 조건이 필요한 이유. \(n =3, 4\)에서 반례가 있는지는 나중에 찾아봐야겠다.

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Simplicity of \(A_{n} \ (n \ge 5)\)

Theorem. \(n \ge 5\)일 때, \(A_{n}\)은 simple group이다.

아까 Lemma (b)가 매우 중요하게 작용한다.

만약 \(A_{n}\)의 non - trivial normal subgroup \(N\)이 존재한다고 가정하자. 그렇다면 다음을 보이는 것으로 충분하다:

Claim. \(N\)에 속하는 적당한 3 - cycle이 존재한다.

Claim을 보인다면 모든 \(A_{n}\)의 3 - cycle이 \(N\)에 속하게 되고, (\(\because \gamma N \gamma^{-1} = N, N\) is normal)

(a)에 의해서 \(N = A_{n}\)이 되어 모순, 즉 Theorem을 증명할 수 있게 된다.

Claim은 Theorem에 비해 훨씬 쉬워 보이지만, 이를 보이기 위해서도 쉽지 않은 idea를 내어야 한다.

Claim 2. \(N\)에 속하는 \(\text{id}\)가 아닌 permutation들 중 fixed point가 가장 많은 것을 \(\rho\)라 하자. \(rho\)는 3 - cycle이다.

\(\rho\)는 모든 \(N \subset A_{n}\)에서 잘 정의되므로 Claim을 증명하는 데 쓰일 수 있다.

\(J_{n} := \{1,2,\cdots,n\}\)을 \(\rho\)의 orbit으로 decompose하자. \(\rho \neq \text{id}\)이므로 2개 이상의 원소를 가지는 orbit이 존재한다.

Case 1. 모든 (크기가 1보다 큰) orbit의 크기가 2

\(\rho\)도 even이므로, 크기가 2인 orbit은 최소 2개 존재한다. 따라서 \(\rho = [ij][rs]\rho_{1}\)으로 나타낼 수 있다.

이 때 적당한 \(k \neq i,j,r,s\)에 대해 \(\tau = [rsk]\)를 정의한다. 그리고 새로운 순열 \(\rho' = \tau \rho \tau^{-1} \rho^{-1}\)를 정의하자. \(\rho'\)은 \(\rho\)의 conjugation과 \(rho^{-1}\)의 곱이기 때문에 \(N\)의 원소가 된다. 이 때 \(\rho'\)은 \(\rho\)보다 fixed point를 많이 가지게 되는데,

- \(\rho'\)은 \(i,j\)가 fixed이지만 \(\rho\)는 그렇지 않다. \(\rho'\)가 2개 이득.

- \(\rho'\)은 \(r,s,k\)가 unfixed이고, \(\rho\)는 \(r,s\)가 unfixed, \(k\)는 모른다. \(\rho'\)가 최대 1개 손해.

- 이외의 모든 원소에 대해, \(\rho'\)는 fixed이고 \(\rho\)는 모른다. \(\rho'\)가 손해보지 않는다.

따라서 Case 1의 경우는 성립할 수 없다.

Case 2. 크기가 3 이상인 orbit이 하나 이상 존재

\(\rho\)가 움직이는 가장 큰 orbit의 원소를 \(i,j,k,\cdots\)라고 하자. 만약 \(\rho\)가 3-cycle \([ijk]\)가 아니라면, \(\rho\)에 의해서 움직이는 원소가 적어도 2개 이상 있어야 한다.

랭형이 어렵게 써놨는데, 만약 움직이는 원소가 1개(\(r\))밖에 없다면 \(\rho = [ijkr]\)이 되는데, 이 4-cycle은 odd라서 \(A_{n}\)에 속할 수 없다. 그래서 \(r,s \neq i,j,k\)가 존재해서 \(\rho(r) \neq r, \rho(s) \neq s\)가 성립한다.

똑같이 \(\tau = [krs]\)를 잡고, \(\rho' = \tau\rho\tau^{-1}\rho^{-1}\)를 생각하면 더 많은 fixed point를 갖기 때문에 모순이 된다.

Case 1, 2의 분석을 합쳐보았을 때, \(\rho\)는 3 - cycle이 되어 원래 명제가 증명된다.

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\(A_{4}\) is not simple

\(A_{n} \ (n \ge 5)\)는 simple하지만, \(A_{4}\)는 normal subgroup을 찾을 수 있다. 랭형은 이걸 연습문제로 줬는데, 스포하자면

\(F = \{\text{id},[12][34],[13][24],[14][23]\}\)은 order 4의 normal subgroup이다.

\(F\)는 4개의 자연수를 2-2 그룹으로 쪼갤 수 있는 모든 경우의 수를 열거한 것이기 때문에, 임의의 \(\sigma \in S_{4}\)에 대해,

$$ \sigma [12][34] \sigma^{-1} = \sigma [12] \sigma^{-1} \sigma [34] \sigma^{-1} = [\sigma(1) \sigma(2)][\sigma(3) \sigma(4)] \in F $$

가 성립한다. 다른 원소에 대해서도 마찬가지이고, 따라서 \(F\)는 \(A_{4}\)뿐 아니라 \(S_{4}\)의 normal subgroup이 된다.