Group Action 이야기 (4) - The Alternating Group

원래는 symmetric group에 이어서 쓰려고 했지만...

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The Alternating Group $A_{n}$

지난 포스트에서 $A_{n}$을 $\varepsilon (\sigma) = 1$인 group으로 정의했었다. $\varepsilon : S_{n} \to \{ \pm 1 \}$의 정의는 다음과 같다 :

$$\varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma \Delta}{\Delta}; \Delta := \sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \text{ for distinct }x_{i}.$$

그런데 사실 $\varepsilon$은 $n$에 그 정의가 의존하므로, 엄밀하게는 $\varepsilon_{n} (\sigma)$라고 써야 맞단다. 짜증나지만 수학하는 사람들이 원래 이렇다.

하지만 사실 그럴 필요가 없었던 것이, 적당한 $m > n$에 대해서 $\varepsilon_{m}(\sigma)$가 $S_{n}$에서도 잘 돌아가도록 restriction을 줄 수 있기 때문이다. 그냥 단순히 $\sigma_{m} = [\sigma, n+1, n+2, \cdots, m]$으로 주고 $\varepsilon_{m}$에 집어넣으면 된다. 뒤의 $[n+1,\cdots m]$은 $\varepsilon$의 값을 바꾸지 않고, 따라서 $\varepsilon$은 $n$에 따라 그 형태가 바뀌지 않는다. 나아가 $A_{m} \cap S_{n} = A_{n}$을 알 수 있다.

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A few properties of $A_{n}$

(a) $A_{n}$ is generated by 3 - cycles.

말인즉슨, $\sigma \in A_{n} = \tau_{1}\tau_{2} \cdots \tau_{2r-1}\tau_{2r}$이라고 하자. ($\tau$는 transposition)

여기서 인접한 transposition을 3-cycle로 만들 수 있다는 거다. 두 transposition의 곱 $[ij][rs]$가

- 공통 원소를 가질 경우 : identity, 또는 3-cycle.

- 공통 원소를 갖지 않을 경우 : $[ij][rs] = [ijr][jrs]$.

transposition은 짝수개이므로 항상 남기지 않고 모두 3-cycle로 바꿀 수 있다.

(b) if $n \ge 5$, all 3-cycles are conjugate in $A_{n}$.

즉, 임의의 $[ijk]$와 $[i'j'k']$에 대해 $\gamma \in A_{n}$이 존재해서 $\gamma [ijk] \gamma^{-1} = [lmn]$을 만족한다.

임의의 cycle $[i_{1}i_{2}\cdots i_{r}]$과 $\gamma \in S_{n}$ 에 대해, $\gamma [i_{1}i_{2}\cdots i_{r}] \gamma^{-1} = [\gamma(i_{1}) \gamma(i_{2}) \cdots \gamma(i_{n})]$이 성립한다는 유용한 성질이 있다.

그래서 $\gamma(X) = X'$인 $\gamma$를 잡으면 되지만, 과연 $\gamma$가 even이라는 보장이 있을까?

있다. 만약 $\gamma$가 odd라면, $i,j,k$와 다른 2개의 원소 $r,s$를 잡아서 $\gamma$대신 $\gamma[rs]$를 쓰면 된다. $n \ge 5$라는 조건이 필요한 이유. $n =3, 4$에서 반례가 있는지는 나중에 찾아봐야겠다.

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Simplicity of $A_{n} \ (n \ge 5)$

Theorem. $n \ge 5$일 때, $A_{n}$은 simple group이다.

아까 Lemma (b)가 매우 중요하게 작용한다.

만약 $A_{n}$의 non - trivial normal subgroup $N$이 존재한다고 가정하자. 그렇다면 다음을 보이는 것으로 충분하다:

Claim. $N$에 속하는 적당한 3 - cycle이 존재한다.

Claim을 보인다면 모든 $A_{n}$의 3 - cycle이 $N$에 속하게 되고, ($\because \gamma N \gamma^{-1} = N, N$ is normal)

(a)에 의해서 $N = A_{n}$이 되어 모순, 즉 Theorem을 증명할 수 있게 된다.

Claim은 Theorem에 비해 훨씬 쉬워 보이지만, 이를 보이기 위해서도 쉽지 않은 idea를 내어야 한다.

Claim 2. $N$에 속하는 $\text{id}$가 아닌 permutation들 중 fixed point가 가장 많은 것을 $\rho$라 하자. $rho$는 3 - cycle이다.

$\rho$는 모든 $N \subset A_{n}$에서 잘 정의되므로 Claim을 증명하는 데 쓰일 수 있다.

$J_{n} := \{1,2,\cdots,n\}$을 $\rho$의 orbit으로 decompose하자. $\rho \neq \text{id}$이므로 2개 이상의 원소를 가지는 orbit이 존재한다.

Case 1. 모든 (크기가 1보다 큰) orbit의 크기가 2

$\rho$도 even이므로, 크기가 2인 orbit은 최소 2개 존재한다. 따라서 $\rho = [ij][rs]\rho_{1}$으로 나타낼 수 있다.

이 때 적당한 $k \neq i,j,r,s$에 대해 $\tau = [rsk]$를 정의한다. 그리고 새로운 순열 $\rho' = \tau \rho \tau^{-1} \rho^{-1}$를 정의하자. $\rho'$은 $\rho$의 conjugation과 $rho^{-1}$의 곱이기 때문에 $N$의 원소가 된다. 이 때 $\rho'$은 $\rho$보다 fixed point를 많이 가지게 되는데,

- $\rho'$은 $i,j$가 fixed이지만 $\rho$는 그렇지 않다. $\rho'$가 2개 이득.

- $\rho'$은 $r,s,k$가 unfixed이고, $\rho$는 $r,s$가 unfixed, $k$는 모른다. $\rho'$가 최대 1개 손해.

- 이외의 모든 원소에 대해, $\rho'$는 fixed이고 $\rho$는 모른다. $\rho'$가 손해보지 않는다.

따라서 Case 1의 경우는 성립할 수 없다.

Case 2. 크기가 3 이상인 orbit이 하나 이상 존재

$\rho$가 움직이는 가장 큰 orbit의 원소를 $i,j,k,\cdots$라고 하자. 만약 $\rho$가 3-cycle $[ijk]$가 아니라면, $\rho$에 의해서 움직이는 원소가 적어도 2개 이상 있어야 한다.

랭형이 어렵게 써놨는데, 만약 움직이는 원소가 1개($r$)밖에 없다면 $\rho = [ijkr]$이 되는데, 이 4-cycle은 odd라서 $A_{n}$에 속할 수 없다. 그래서 $r,s \neq i,j,k$가 존재해서 $\rho(r) \neq r, \rho(s) \neq s$가 성립한다.

똑같이 $\tau = [krs]$를 잡고, $\rho' = \tau\rho\tau^{-1}\rho^{-1}$를 생각하면 더 많은 fixed point를 갖기 때문에 모순이 된다.

Case 1, 2의 분석을 합쳐보았을 때, $\rho$는 3 - cycle이 되어 원래 명제가 증명된다.

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$A_{4}$ is not simple

$A_{n} \ (n \ge 5)$는 simple하지만, $A_{4}$는 normal subgroup을 찾을 수 있다. 랭형은 이걸 연습문제로 줬는데, 스포하자면

$F = \{\text{id},[12][34],[13][24],[14][23]\}$은 order 4의 normal subgroup이다.

$F$는 4개의 자연수를 2-2 그룹으로 쪼갤 수 있는 모든 경우의 수를 열거한 것이기 때문에, 임의의 $\sigma \in S_{4}$에 대해,

$$\sigma [12][34] \sigma^{-1} = \sigma [12] \sigma^{-1} \sigma [34] \sigma^{-1} = [\sigma(1) \sigma(2)][\sigma(3) \sigma(4)] \in F$$

가 성립한다. 다른 원소에 대해서도 마찬가지이고, 따라서 $F$는 $A_{4}$뿐 아니라 $S_{4}$의 normal subgroup이 된다.