원래는 symmetric group에 이어서 쓰려고 했지만...The Alternating Group \(A_{n}\) 지난 포스트에서 \(A_{n}\)을 \(\varepsilon (\sigma) = 1\)인 group으로 정의했었다. \(\varepsilon : S_{n} \to \{ \pm 1 \}\)의 정의는 다음과 같다 :$$ \varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma \Delta}{\Delta}; \Delta := \sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \text{ for distinct }x_{i}. $$ 그런데 사실 \(\varepsilon\)은 \(n\)에 그 정의가 의존하므로, 엄밀하게는 \(\varepsilon_{n} (\sigma)\)라고 써야 맞단다...

Symmetric group은 이제껏 나온 group theory의 응용 중에서 가장 복잡하고 재미있는 주제이다. 흥미로운 lemma와 결과들이 많으니 집중해보자.Symmetric group Symmetric group \(S_{n}\)은 \(n\)개 원소들의 permutation의 집합이다. 당연히 \(|S_{n}| = n!\)이고, 항등원은 \(\iota\)라고 쓴다. \(S_{n}\)은 \([n]\)에 translation으로 작용할 수 있고, 그 때 어떤 \(i \in [n]\)의 orbit을 cycle이라고 한다. cycle은 \([i_{1}i_{2}\cdots i_{r}]\)로 쓰고, 이는 \(\sigma(i_{1}) = i_{2}, \sigma(i_{2}) = i_{3}, \cdots \si..

1편에서는 기본적인 용어 정의를 조금 했다. 분위기를 환기해서 또 다른 정의를 여러 개 하고(...) 재밌는 이야기로 넘어가는 게 목표.Isotropy Group \(G\)가 \(S\)에 작용한다고 하자. \(s\)의 \(G\)에 대한 isotropy group이란, \(xs = s\)를 만족하는 \(x\)들의 모임을 말한다. 표기는 \(G_{s}\).만약 \(G\)가 \(G\) 위에 conjugation으로 작용한다고 하면, 어떤 원소의 isotropy group은 그 원소의 normalizer와 같다. operation의 kernel을 생각해보자. 모든 \(s\)에 대해서 \(xs = s\)를 만족하는 \(x \in G\)를 말하는 거다. 잘 생각해보면 kernel \(K\)는 모든 isotropy ..

Cyclic group은 쉽고 또 뭐가 없는 관계로 스킵.Group Action은 쉬운데 뭐가 많다... 나중에 문제 풀 때 고통받을 것 같다.Group operation (Group Action) 집합 \(S\) 위로의 Group \(G\)의 작용(Action of \(G\) on \(S\))는 다음의 homomorphism \(\pi : G \to \text{Perm}(S)\)를 의미한다. 여기서 작용당하는 \(S\)는 G-set이라고 부른다. 하지만 저 \(\pi\)는 두 번 다시 등장하지 않는다. 랭형이 \(\pi_{x} \in \text{Perm}(S)\)를 \(s \mapsto xs\)라는 짱짱 강한 multiplicative notation으로 퉁쳐버렸기 때문이다. \(x(ys) = (xy)..

Lang에 적혀 있는 normal subgroup (Section 1.3)은 이게 마지막이다.Feit - Thompson같은 건 나중에 추가될지도 모르지만 굳이 이 단원에...?여담으로, 전 포스팅에서 쓸모없을 것 같다고 했던 butterfly lemma가 바로 여기 나온다. 죄송합니다 나비님...Equivalent Towers Group \(G\)의 두 Tower를 생각해보자. abelian일 필요는 없지만, 끝은 반드시 trivial group이어야 한다. $$ G = H_{0} \triangleright H_{1} \triangleright \cdots \triangleright H_{r} = \{1\} \\ G = K_{0} \triangleright K_{1} \triangleright \cdo..

느그 나비의 차례! *이 포스팅에서는 Lang1 ~ Lang5라는 이름의 보조정리를 차용한다. 익숙하지 않은 사람은 2편을 보고 오자.Butterfly Lemma (Zassenhaus) 그냥 봐서는 별로 쓸모가 없어 보이지만 비중이 큰 이 lemma. 그래도 쓸모가 있으니까 lemma겠지?이름이 butterfly lemma인 이유는 Hasse diagram이 나비처럼 생겨서. Wikipedia에서 보고 오자.이 Lemma는 (Group, Normal subgroup) pair 2개로 구성된 계에 대해서 적용할 수 있다. Lemma. (Zassenhaus) \(U' \unlhd U\), \(V' \unlhd V\)라고 하자. 이 때\(U'(U \cap V') \unlhd U'(U \cap V)\) && \..