2019.03.27 Revised. 원본: 2017.09.10 표본분산 \(S^2\)는 \(\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n}(\bar{X}-X_k)^2\)로 정의된다. 그런데 분모의 꺼림칙한 \(n-1\)은 일반적으로 '자유도'(degree of freedom)라는 개념으로 설명하는데, 대략 "평균 \(\bar{X}\)는 이미 정해져 있으니까(?) 자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수는 \(n-1\)개 밖에 없어!" 같은 뉘앙스로 설명한다. 근데 이 설명이 도저히 납득이 가지 않는다. 사실 자유도를 이용한 설명은 다분히 작위적인 느낌이 든다. '자유도'라는 개념을 "자유롭게 결정할 수 있는 변수의 개수"와 같은 의미로 사용하는 경우를 본 적이 없다. 애초에 통계학적으로 의미가 있는지조차도..

원래는 symmetric group에 이어서 쓰려고 했지만...The Alternating Group \(A_{n}\) 지난 포스트에서 \(A_{n}\)을 \(\varepsilon (\sigma) = 1\)인 group으로 정의했었다. \(\varepsilon : S_{n} \to \{ \pm 1 \}\)의 정의는 다음과 같다 :$$ \varepsilon(\sigma) = \frac{\sigma \Delta}{\Delta}; \Delta := \sum_{i < j} (x_{i} - x_{j}) \text{ for distinct }x_{i}. $$ 그런데 사실 \(\varepsilon\)은 \(n\)에 그 정의가 의존하므로, 엄밀하게는 \(\varepsilon_{n} (\sigma)\)라고 써야 맞단다...

Symmetric group은 이제껏 나온 group theory의 응용 중에서 가장 복잡하고 재미있는 주제이다. 흥미로운 lemma와 결과들이 많으니 집중해보자.Symmetric group Symmetric group \(S_{n}\)은 \(n\)개 원소들의 permutation의 집합이다. 당연히 \(|S_{n}| = n!\)이고, 항등원은 \(\iota\)라고 쓴다. \(S_{n}\)은 \([n]\)에 translation으로 작용할 수 있고, 그 때 어떤 \(i \in [n]\)의 orbit을 cycle이라고 한다. cycle은 \([i_{1}i_{2}\cdots i_{r}]\)로 쓰고, 이는 \(\sigma(i_{1}) = i_{2}, \sigma(i_{2}) = i_{3}, \cdots \si..

1편에서는 기본적인 용어 정의를 조금 했다. 분위기를 환기해서 또 다른 정의를 여러 개 하고(...) 재밌는 이야기로 넘어가는 게 목표.Isotropy Group \(G\)가 \(S\)에 작용한다고 하자. \(s\)의 \(G\)에 대한 isotropy group이란, \(xs = s\)를 만족하는 \(x\)들의 모임을 말한다. 표기는 \(G_{s}\).만약 \(G\)가 \(G\) 위에 conjugation으로 작용한다고 하면, 어떤 원소의 isotropy group은 그 원소의 normalizer와 같다. operation의 kernel을 생각해보자. 모든 \(s\)에 대해서 \(xs = s\)를 만족하는 \(x \in G\)를 말하는 거다. 잘 생각해보면 kernel \(K\)는 모든 isotropy ..

Cyclic group은 쉽고 또 뭐가 없는 관계로 스킵.Group Action은 쉬운데 뭐가 많다... 나중에 문제 풀 때 고통받을 것 같다.Group operation (Group Action) 집합 \(S\) 위로의 Group \(G\)의 작용(Action of \(G\) on \(S\))는 다음의 homomorphism \(\pi : G \to \text{Perm}(S)\)를 의미한다. 여기서 작용당하는 \(S\)는 G-set이라고 부른다. 하지만 저 \(\pi\)는 두 번 다시 등장하지 않는다. 랭형이 \(\pi_{x} \in \text{Perm}(S)\)를 \(s \mapsto xs\)라는 짱짱 강한 multiplicative notation으로 퉁쳐버렸기 때문이다. \(x(ys) = (xy)..

Lang에 적혀 있는 normal subgroup (Section 1.3)은 이게 마지막이다.Feit - Thompson같은 건 나중에 추가될지도 모르지만 굳이 이 단원에...?여담으로, 전 포스팅에서 쓸모없을 것 같다고 했던 butterfly lemma가 바로 여기 나온다. 죄송합니다 나비님...Equivalent Towers Group \(G\)의 두 Tower를 생각해보자. abelian일 필요는 없지만, 끝은 반드시 trivial group이어야 한다. $$ G = H_{0} \triangleright H_{1} \triangleright \cdots \triangleright H_{r} = \{1\} \\ G = K_{0} \triangleright K_{1} \triangleright \cdo..