문제 링크 원래 1년 전 (2017.12 초)에 정수론 들을 때쯤 푼 문제인데, 포스팅 도중 계산이 틀려서 보류되었다. 얼추 기워서 올리긴 하지만 여전히 틀린 부분이 있을 수 있다. \(3k+1\) 꼴의 소수 \(p\)에 대해서 함수 \(L(m)\)을 다음과 같이 정의한다:$$ L(m) \ = \ \sum_{x = 0}^{p-1} (\frac{x(x^3 + m)}{p}) $$ 다음의 문제에 답하여라. (a) \(\forall t (\neq 0), \ m , \ L(m) = L(mt^3)\)(b) \(\mathbb{Z}_{p}^{*}\)를 다음의 조건을 만족하는 크기가 \(\frac{p-1}{3}\)인 집합 \(A,B,C\)로 분할할 수 있다:$$L(m) = \begin{cases} a & (m \in A..

Mirsky's theorem은 POSET에 관련된 기초적인(?) 정리 중 하나인데, 어디 심층 문제에 대뜸 나왔다길래 포스팅해본다.이에 완전히 대응되는 정리로 Dilworth's theorem이 있지만 증명이 복잡해서 일단은 Mirsky만 증명하기로 한다. POSET(PreOrder SET)의 형식적인 정의는 다음과 같다. 직관적으로는 두 정수 간의 약배수 관계를 생각하면 된다. - 집합 \(P\)의 원소들에 대해서, 관계 \(\preccurlyeq\)가 다음을 만족한다.- 반사율 (reflexivity) : 임의의 \(a \in P\)에 대해 \(a \preccurlyeq a\).- 추이율 (transitivity) : \(a, b, c \in P\)에 대해 \(a \preccurlyeq b \ \w..

어떤 행렬의 Reduced Row Echelon Form이 유일하다는 정리이다. 선형대수학 시간에 발표를 맡았다. SlideShare에 올려둔 ppt

\(\pi\)가 무리수임을 증명하는 과정이다. 주요 관찰들은 유용해 보이긴 한데 풀이 전체가 너무 비직관적이라... 완전히 마음에 들지는 않는다. 더 나은 풀이나 이 풀이에 대한 다른 해석이 있다면 제보 바랍니다. 실제로는 \(\pi^2\)이 무리수임만 보여도 충분하다. 증명은 \(\pi^2 = a/b\)라고 놓은 뒤에 \(a\)가 어떤 자연수도 될 수 없음을 보이는 방향으로 설계한다. Proposition 1. 정수 계수 다항식 \(f(x)\)를 생각하자. 임의의 자연수 \(n\)과 정수 \(k\)에 대해서 \(f^{(n)}(k)\)는 \(n!\)의 배수이다. 증명 생략. 이 때 \(f(x) = \frac{x^n(1-x)^n}{n!}\)을 생각하자. 여기서 \(f(x)\)의 특징을 몇 가지 뽑아낼 수 ..

방청소를 하다가 영재고 대비 시절의 교재를 발견했다. 그 교재 마지막 장에 과하게 졸려보이는 글씨로(...) 이 정리와 증명이 쓰여 있길래 대충 재구성해본다. 이걸 조사하면서 Sperner를 슈페르너로 읽는다는 걸 처음 알았다. 지금까지 스퍼너로 읽었는데 ㅁㄴㅇㄹ Definition. (Sperner Family) \([n] := \{1,2,\cdots n\}\)이라 할 때, \(\mathcal{F} \subset 2^{[n]}\)가 임의의 두 원소 \(A, B \in \mathcal{F}\)에 대해 \(A \subset B \Leftrightarrow A = B\)를 만족할 때 \(\mathcal{F}\)를 \([n]\)의 Sperner Family라고 한다. 즉 \(\subset\)을 순서관계로 생각..

Definition.\(\phi(n)\) : Number of natural numbers in \(1..n\), which are relatively prime to \(n\).\(\sigma(n)\) : Sum of divisors of \(n\), including \(1\) and \(n\) itself.claim.$$n > 1 \Rightarrow \phi(n) > \frac{n}{4\log n}$$This section is intentionally left blank. Special thanks: H. Cho, W. Song. Solution 1. (Official) \(n := p_{1}^{e_1} p_{2}^{e_2} \cdots p_{k}^{e_k}\). $$ \phi(n) = n \p..