시험기간인데 포스팅은 하고 싶어서 내뱉는 짧은 주제.이산수학이 맞는지는 모르겠지만... 이것과 연관된 이산수학 문제가 하나 있으니까 이 카테고리에 포스팅하기로 한다. 1. Definition of Beatty Sequence 양의 무리수 \(r\)에 대해서 Beatty Sequence \(\mathcal{B}_r\)을 다음과 같이 정의한다. $$ \mathcal{B}_r := \{ \lfloor r \rfloor, \lfloor 2r \rfloor, \cdots, \lfloor nr \rfloor \cdots \} $$ 2. Rayleigh's theorem 두 양수 무리수 \(r,s\)가 \(\frac{1}{r}+\frac{1}{s} = 1\)을 만족할 때, \(\mathcal{B}_r\)과 \(\ma..

페르마 수의 primality test에 Miller - Rabin을 쓰면 어떨까? 라는 생각에서 기존 이론을 search하다가 찾아낸 이론인데, 생각해보니 옛날에 배웠던 거다... 그럼 그렇지. $$ F_n = 2^{2^n} + 1 \text{ is prime} \\ \Leftrightarrow 3^{\frac{F_n-1}{2}} \equiv -1 (\text{mod} \ F_n) (n>0)$$ pf)\( \Rightarrow) \)\( \text{by Euler's Criterion,} \) \( 3^{{F_n-1}/2} \equiv \left(\frac{3}{F_n}\right) \)이 때 \(F_n \equiv 2 (mod 3)\)이므로 \(F_n\)은 법 3에 대한 이차잉여가 아니다. \(\le..

게레첸 부등식, 게러첸 부등식이라고 더 많이 알려져 있는 것 같은(...) 이 부등식은 삼각형의 둘레의 절반 \(s = \frac{a+b+c}{2}\), 내접원의 반지름 \(r\), 외접원의 반지름 \(R\)에 관련된 가장 tight한 부등식 중 하나이다. 아마 경시 수준에서 쓰이는 기하부등식 중에선 가장 강한 것 같다. 소개할 증명에서도 상당히 강력한 부등식인 Schur 부등식이 사용된다. $$ 16Rr - 5r^2 \le s^2 \le 4R^2 + 4Rr + 3r^2 $$ (1) Lower bound 클래식한 방법은 부담이 너무 심해서 Lemma를 하나 도입해보았다. \( x := s-a, y := s-b, z := s-c\) \(\text{Lemma : } xy+yz+zx = 4Rr+r^2\) \(..

$$ \text{Find all continuous function } f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{R} \text{ s.t. } \\ \forall x \in \mathbb{R} \ \ f(f(x)) = cos x $$ 페이스북에서 본 흥미로운 문제인데, 굉장히 기교를 많이 필요로 할 것 같지만 의외로 풀이가 원론적이었다. 당연히 내가 풀진 못했고... 조건을 만족하는 \(f\)가 존재한다고 가정하면,우변인 \(\text{cos}x\) 는 단 하나의 고정점(fixed point)을 갖기 때문에, (\(\text{cos} t = t\)를 만족하는 점, \(t \approx 0.7391 \) )이는 \(f\)의 유일한 고정점이어야 한다. 간단히 설명하자면 \(t\) 이외의 고정점..

*이 글은 산술-기하 평균부등식과 관련된 글이 아닙니다. 양의 실수 \(x>y\)의 AGM \(AGM(x,y)\)는 다음 두 수열의 극한값으로 정의된다.\(a_0 = x, \ g_0 = y\)\(a_{n+1} = \frac{a_n+g_n}{2}, g_{n+1}=\sqrt{a_ng_n}\)\(\lim_{n\to \infty}a_n = \lim_{n\to\infty}g_n = AGM(x,y)\) 1. Proof Of Existence \(\{g_n\}\)이 수렴함은 단조수렴정리에 의해 자명하다. \(g_n\)의 극한값을 \(g\)라고 두자. 그렇다면 \(a_n = \frac{g_{n+1}^2}{g_n}\)이므로 극한값은 역시 동일한 \(g\)가 된다. \(\blacksquare\) 2. Closed Form..

stackexchange에서 본 내용. 페르마의 두 제곱수 정리에 의해, \(4k+1\)꼴의 소수는 두 제곱수의 합으로 표현이 가능하다. 이번엔 그 표현이 유일함을 보이자.기본적으로 꼴은 귀류. 1. Algebraic(?) NT\(p = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \)으로 표현될 수 있다고 하자. (\(\{a,b\}\neq\{c,d\}\)) 그럼 다음과 같이 \(p\)는 최소 4개의 서로 다른 가우스 소인수를 가진다. $$p = (a+bi)(a-bi) = (c+di)(c-di) $$그런데 가우스 정수의 집합 \(Z[i]\)는 Unique Factorization Domain이기 때문에,(*소인수 분해 꼴이 유일한 집합인 것 같다. 머수ㅡ알못이라 한참 후에야 추가가 가능할 듯하다) 이는 \(a..